《线性第十一讲》ppt课件

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1、第十一讲矩阵的秩一、矩阵的秩的概念定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．显然，m×n矩阵A的k阶子式共有个．1、矩阵的k阶子式与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子式概念辨析：k阶子式、余子式、代数余子式定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．矩阵A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数．规定：零矩阵的秩等于零．2、矩阵的秩说明：1)如果

2、矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，则所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．2)若矩阵A中有某个s阶子式不等于零，则R(A)≥s；若矩阵A中所有t阶子式等于零，则R(A)

3、A

4、．当

5、A

6、≠0时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．当

7、A

8、=0时，R(A)

9、A

10、，而且

11、A

12、=0，因此R(A)=2．例：求矩阵A和B的秩，其中解（续）：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此其4阶子式全为零．以非零

13、行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此R(B)=3．结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．二、矩阵的秩的计算例：求矩阵A的秩，其中．分析：在A中，2阶子式．A的3阶子式共有(个)，要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的．一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？定理：若A~B，则R(A)=R(B)．应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩．例：求矩阵的秩，并求A的一个最高

14、阶非零子式．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．R(A0)=3，计算A0的前3行构成的子式因此这就是A的一个最高阶非零子式．分析：对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设B的行阶梯形矩阵为，则就是A的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出R(A)及R(B)．例：设，求矩阵A及矩阵B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=3三、矩阵的秩的性质若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．若A~B，则

15、R(A)=R(B)．若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(B)．max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)．特别地，当B=b为非零列向量时，有R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1．R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nBn×l=O，则R(A)＋R(B)≤n．作业：习题三：10（1，3），12