《系统辨识第三章》ppt课件

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1、系统辨识基础1系统辨识☆第一章模型方法与辨识☆第二章脉冲响应辨识☆第三章最小二乘辨识☆第四章极大似然辨识☆第五章时间序列建模与随机逼近辨识☆第六章模型阶次的辨识☆第七章闭环系统辨识2☆前言☆3-1最小二乘法☆3-2加权最小二乘法☆3-3递推最小二乘法☆3-4辅助变量法☆3-5广义最小二乘法☆3-6适应最小二乘法第三章最小二乘辨识3第三章最小二乘辨识用来进行系统参数辨识的最小二乘法，是一种经典的数据处理方法，最早的应用可追溯到18世纪，高斯为了提高天体运动观测的准确性，曾应用了最小二乘法。本章将介绍一般最小二乘法、加权最小二乘法、

2、递推最小二乘法以及广义最小二乘法等内容。由于最小二乘法比较简单实用，而且又可与其他辨识方法相组合，因此最小二乘辨识是一种基本的、重要的辨识方法。4用最小二乘辨识技术辨识系统的数字模型的原理方块图如下：一、最小二乘辨识方程§3-1最小二乘法被辨识系统D/AA/D测量装置计算机（最小二乘辨识算法)数学模型5被辨识系统D/AA/D测量装置计算机（最小二乘辨识算法)数学模型设被辨识系统的脉冲传递函数为6则当存在观测误差及建模误差时，相应的差分方程：式中，称为方程误差，为模型参数向量；若令代表真实参数向量，显然有（观测误差）7令（数据窗口

3、长度），如下矩阵方程成立：表示为:8其中：(测量向量)，(测量矩阵)，为参数向量，而为向量方程误差.9二、最小二乘辨识定义对于最小二乘辨识方程寻求一个真实参数向量的估计值，使表示方程误差平方和的性能指标取极小，则称是最小二乘意义下，的估值，表示为。10三、最小二乘估计的求法⒈解法由最小二乘辨识定义，求的：必要条件:充分条件:及11由于是得：——最小二乘的法方程如果阵行数>列数,即,且满秩,即则存在,故解法为:由充分条件:与参数向量无关。12⒉解的唯一性与无关，所以解唯一。因阵行数大于列数，为方阵。若存在，则必正定；反之，若正定，

4、则逆必存在。因此，必有解，且满足充分条件13⑴信息量需求：为保证，数据窗口N的取值应满足：其中为被辨识系统的阶数。且需要⒊最小二乘法所需信息量与持续激励条件N个输入信息：(N+1)个输出(测量)信息：14⑵持续激励条件有解由正定矩阵性质：，必须保证——n阶持续激励条件若输入序列采用随机序列或M序列，则满足；若输入序列采用常值序列，则奇异，不满足持续激励条件。15例3-1已知模型方程如下：测量值及测量时刻见下表5.475.023.502.982.01y(k)98542t(秒)试求及的最小二乘估计.解：可按如下步骤求解⑴信息量检验1

5、6⑵求取17四、病态法方程的H(Householder)变换求解法方程：若参数众多，法方程常是病态的，不宜采用求逆求解。H变换是一种不用求逆的解法。⒈H变换阵Q的定义设方阵，I为维单位阵，为任一单位长度的维列向量，即18设方阵，I为维单位阵，为任一单位长度的维列向量，即则满足下列关系式的Q阵，称为H变换矩阵.19⒉H变换矩阵的性质性质1：Q为对称阵。性质2：Q为正交阵。性质3：H变换阵之积也是正交阵。即若均为H变换阵，则有20则必存在一个H变换阵Q，使有或其中，性质4：若已知任一维列向量21性质5：设为个维H变换阵之积，则存在正

6、交矩阵，使得其中，上三角阵。22⒊病态法方程的H变换求解设法方程中和Y各元已观测得到。根据性质5，求正交阵,使定义其中，。23由最小二乘性能准则因为故有24令求得：上式表明：因R为上三角阵，故不必求逆，用反复代入法可解出；一旦取为参数估值时，方程误差(残差)平方和等于.25五、最小二乘估计的统计特性统计特性是用来评价参数估计方法好坏的一些标准。对于最小二乘估计，要求根据有限的观测信息来估计未知参数。应当指出，待辨识的参数向量θ是确定向量，不是随机量，但由于观测值Y中含有噪声，是随机量，因而估计显然是随机的。统计特性有如下几种。⒈

7、无偏性设是的一个估计，若，则称是的无偏估计。26由最小二乘估计：取期望(随机型,且与统计独立)若为零均值且统计独立随机向量，则有最小二乘估计为无偏估计。但由于残差随机向量序列往往是相关序列，故往往是有偏估计。27⒉一致性令估计误差为以估计误差平方均值作为性能准则，若标量或者误差协方差阵之迹的极限若，根据无穷多个输入、输出观测信息求出的估计无限趋于真值，则称是的一致估计。则称是的一致估计。矩阵28如果测量矩阵为确定型矩阵，因所以估计误差协方差：（确定）若，则有协方差29结论：只有当为确定型阵，且有才有是的一致估计。30⒊估计误差的

8、方差阵估计误差的方差表示估值的散布范围。如果为确定型阵，且，则估计误差的方差阵(测量矩阵确定型时)一般情况，最小二乘估计为有偏非一致性估计。但由于简单实用，仍不失为一种好的参数估计方法，为了克服最小二乘法的不足，在最小二乘法的基础上，发展了辅助变量法和广义最小二