函数及其表示知识点

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1、函数及其表示一、知识梳理1．映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示对应法则注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2．函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的，在集合中都有的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为__________(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，称为函数的值域。(3)函数

2、的三要素：、和3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点1：映射的概念例1．下述两个个对应是到的映射吗？（1），，；（2），，．例2．若，，，则到的映射有个，到的映射有个例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（）8个12个16个18个1

3、1考点2：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），；（4），（5），（n∈N*）；考点3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（1）若已知复合函数的解析式，则可用换元法（2）配凑法（4）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出题型1：用待定系数法求函数的解析式例1.已知函数是一次函数,且,求表达式.例2.已知是一次函数且（）A．B．C．D．例3.二次函数f(x)满足f(x＋

4、1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)＞2x＋5.例4.已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f(x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．2、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成11的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。例2已知，求的解析式3、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3已知，求4、代入法：求已知函数

5、关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5设求例6设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式116、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8

6、设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数都有，求考点4：求函数的定义域题型1：求有解析式的函数的定义域（1）常规方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；例1.函数的定义域为（）A．B．C．D．例2、函数的定义域是（）11A.B.C.D.题型2：求复合函数和抽象函数的定义域111111练一练：例1．已知的定义域是，

7、求函数的定义域例2．已知的定义域是（-2，0），求的定义域例3、已知函数的定义域为[-2，3]，则的定义域是_________考点5：求函数的值域1．求值域的几种常用方法(1)直接法：通过对自变量x和函数性质的观察，结合函数的解析式直接得出y=f(x)的取值范围11（2）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，例1、例2、（1）（2）（3）（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。例3、例4、（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，11例5、例6、（4）分段函数分别求函数值域，例7、例8、函数的值域是（）A．B．C．D．（5）

8、分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。例9、例10、设函数的定义域为，值域为，那么（），，