函数及其表示 知识点与题型归纳

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1、●高考明方向1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.★备考知考情　从近三年的高考试题看，函数的表示方法多以选择题、填空题形式出现，高考命题仍将集中在理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域，而且经常与其他知识结合考查，如解不等式、能够利用解析式求函数值，并且多以分段函数形式给出.函数的图象主要体现在选择与填空题中用数形结合法解题和识图能力，大题常在

2、应用题中给出图象求解析式．一、知识梳理《名师一号》P10知识点一函数的基本概念1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么21就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

3、x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．从映射的角度看，函数是由一个非空数集到另一个非空数集的

4、映射．温馨提示：(1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．(3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．2、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3、函数的表示法有：解析法、列表法、图像法知

5、识点二映射映射的概念：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B21中都有唯一确定的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.（补充）象和原象：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．注意：《名师一号》P11问题探究问题2函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射；(2)

6、映射不一定是函数，从A到B的一个映射，若A，B不是数集，则这个映射便不是函数．知识点三分段函数若函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．（补充）复合函数二、例题分析：（一)映射与函数的概念例1．（1）(补充)21（1），，；（2），，；（3），，．上述三个对应是到的映射．答案：（2）注意：(补充)判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有像”且“像唯一”；即要注意：①允许一对一、多对一，但不允许一

7、对多；②B中元素可有剩余（即允许B中有的元素没有原象）.例1．（2）(补充)点在映射的作用下的象是，则在映射的作用下点的原象是答案：例2.《名师一号》P11高频考点例1有以下判断：21①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝

8、x－1

9、－

10、x

11、，则f＝0.其中正确判断的序号是________．答案:②③.解析：对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x

12、x∈R且x≠0}，而函数g

13、(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1.21综上可知，正确的判断是②③.注意：《名师一号》P11高频考点例1规律方法函数的值域可由

14、定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数，值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．简而言之1、函数是一类特殊的映射，是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。是一对一或多对一2、函数的三要素（定义域、值域、对应法则）可简化为两要素（定义域、对应法则）练习：《名师一号》P10对点自测1-