函数的单调性_知识点与题型归纳

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1、1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.注意：关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意x1，x2∈[a，b]且x10⇔f(x)在[a，b]上是增函

2、数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法(1)定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1

3、′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．注意：(补充)16（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f′(x)，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时

4、有f(x)>0，则为减(增)函数，为增(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．16二、例题分析：（一)函数单调性的判断与证明判断下列说法是否正确(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(　　)(2)

5、函数f(x)＝在其定义域上是减函数．(　　)(3)已知f(x)＝，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(　　)答案：　√　×　√例1.(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)答案：A.例2.判断函数f(x)＝在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．16法一：定义法设－10，x2＋1>0.∴当a>0时

6、，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．法二：导数法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视16（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例1求函数y＝x－

7、1－x

8、的单

9、调增区间y＝x－

10、1－x

11、＝作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．例2.求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．解析:令u＝x2－4x＋3，16原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3.∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝logu在(0，＋∞)上

12、是减函数，∴y＝log(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．注意：求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．16(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．