函数的单调性知识点与题型归纳

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1、......●高考明方向1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.★备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理《名师一号》P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，参考材料......函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性1.单调函数的定义2.单调性、单

2、调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.参考材料......注意：1、《名师一号》P16问题探究问题1关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值．(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式：设任意x1，x2∈[a，b]且x10⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)

3、在[a，b]上是减函数．2、《名师一号》P16问题探究问题2单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结参考材料......，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16高频考点例1规律方法(1)定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x10，则f(x)在区间D内为增函数

4、；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，参考材料......则如果f′(x)，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：《名师一号》P17高频考点例2规律方法定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增)函数，为增(减)函数．参考材料....

5、..3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用《名师一号》P17特色专题参考材料......(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．二、例题分析：（一)函数单调性的判断与证明例1.（1）《名师一号》P

6、16对点自测1判断下列说法是否正确(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(　　)(2)函数f(x)＝在其定义域上是减函数．(　　)(3)已知f(x)＝，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(　　)参考材料......答案：　√　×　√例1.（2）《名师一号》P16高频考点例1（1）(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)答案：A.例2.（1）《名师一号》P16高频考点例1（2）参考材料......判断函数f(x)＝在(－1，＋∞)上的单调性，并证

7、明．法一：定义法设－10，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．法二：导数法注意：《名师一号