一元二次方程及根的定义

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1、一元二次方程及根的定义　　1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及的值.　　思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可.　　解：将代入原方程，得　　　　即　　　　　解方程，得　　　　　当时，原方程都可化为　　　　　　　　解方程，得.　　　　所以方程的另一个根为4，或-1.　　总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口.　　举一反三：　　【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式的值.　　思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题.　　解：因为是方

2、程　的一个根,　　　　所以　,　　　　故　,　　　　,　　　　所以　.　　　　　　　8　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.　　总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验.类型二、一元二次方程的解法　　2.用直接开平方法解下列方程：　　(1)3-27x2=0；(2)4(1-x)2-9=0.　　解：(1)27x2=3　　　　　　　　　　　　　　　.　　　　(2)4(1-x)2=9　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.用配方法解下列方程：　　(1)；　　　(2).　　解：(1)由，

3、　　　　　得，　　　　　，　　　　　，8　　　　　所以，　　　　　故.　　　　(2)由，　　　　　得，　　　　　，　　　　　，　　　　　所以　　　　　故　　4.用公式法解下列方程：　　(1)；　　　(2)；　　　(3).　　解：(1)这里　　　　　　并且　　　　　　所以，　　　　　　所以，.　　　　(2)将原方程变形为，　　　　　　则　　　　　　，　　　　　　所以，　　　　　　所以.　　　　(3)将原方程展开并整理得，8　　　　　　这里，　　　　　　并且，　　　　　　所以.　　　　　　所以.　　总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要

4、求，也是提高我们运算能力训练的好素材.　　5.用因式分解法解下列方程：　　(1)；　　(2)；　　　(3).　　解：(1)将原方程变形为，　　　　　　提取公因式，得，　　　　　　因为，所以　　　　　　所以或，　　　　　　故　　　　(2)直接提取公因式，得　　　　　　所以或，(即　　　　　　故.　　　　(3)直接用平方差公式因式分解得　　　　　　　　　　　　即　　　　　　所以或　　　　　　故.8　　举一反三：　　【变式1】用适当方法解下列方程．　　(1)2(x+3)2=x(x+3)；　　(2)x2-2x+2=0；　　(3)x2-8x=0；　　　　　(4)x2+12x+32=0.　　解：(1)2

5、(x+3)2=x(x+3)　　　　　2(x+3)2-x(x+3)=0　　　　　(x+3)[2(x+3)-x]=0　　　　　(x+3)(x+6)=0　　　　　x1=-3，x2=-6．　　　　(2)x2-2x+2=0　　　　　这里a=1，b=-2，c=2　　　　　b2-4ac=(-2)2-4×1×2=12＞0　　　　　x==　　　　　x1=+，x2=-　　　　(3)x(x-8)=0　　　　　x1=0，x2=8．　　　　(4)配方，得　　　　　x2+12x+32+4=0+4　　　　　(x+6)2=4　　　　　x+6=2或x+6=-2　　　　　x1=-4，x2=-8．　　点评:要根据方程的特点灵活选

6、用方法解方程.　　6.若，求的值.　　思路点拨：观察，把握关键：换元，即把看成一个“整体”.　　解：由，　　　　得，　　　　，　　　　，　　　　所以，8　　　　故或(舍去)，　　　　所以.　　总结升华：把某一“式子”看成一个“整体”，用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用　　7.(武汉)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是()　　A.有两个相等的实数根;　　　　B.有两个不相等的实数根　　C.只有一个实数根;　　　　　　D.没有实数根　　解析:因为△=32-4×4×(-2)＞0，所以该方程有两个不相等的实数根.　　答案:B.　

7、　8.(重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()　　A.m＞　　　B.m＜　　　C.m＞-　　　D.m＜-　　思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足.　　解:由题意，得△=12-4×1×(-3m)＞0，　　　　解得m＞-.　　答案:C.　　举一反三：　　【变式1】当m为什么值时，关于x的方程有实根.　　思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还