费尔巴哈定理证明

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1、费尔巴哈定理定理描述：三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切。定理证明：1、内切圆：如图，设△ABC的内心为I，内切圆与三边的切点分别为P、Q、R，BC边上的中点为L、AB边上的中点为N，BC边上的垂足为D。连接AI，并延长交BC于点U，过点U作⊙I的切线，切点为S，交AB于V，连接LS，并延长交⊙I于点T。现在证明⊙I与△ABC的九点圆相切于点T。∵AV、AC、UV、UC均与⊙I相切，∴∠AIR=∠AIQ、∠UIS=∠UIP，∴∠RIS=∠QIP，而∠VRI、∠VSI、∠CQI、∠CPI均为直角，∴∠RVS=∠QCP，即：∠AVU=∠ACU，又∵∠VAU=∠CAU（AU

2、为∠BAC的角平分线）及AU共线，有：△AVU≌△ACU，∴AV=AC，又P、Q、R为⊙I切△ABC的切点，∴2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV。连接VC，交AU于点K，由AV=AC、∠VAK=∠CAK及AK共线，有：△AVK≌△ACK，即：AK为VC的垂直平分线，连接LK，则LK是△BVC的中位线，∴BV=2LK，∴LP=LK。又∵LP为⊙I的切线，LST为⊙I的割线，∴LP²=LS×LT，即：LK²=LS×LT。连接KD，∵LK∥BV，即：LK∥AB，∴∠LKU=∠BAU=∠CAU，

3、即：∠LKU=∠CAK，又∵AD⊥DC、AK⊥KC，∴A、K、D、C四点共圆，∴∠CAK=∠UDK，即：∠LKU=∠UDK，亦即：LK与△UDK的外接圆相切，∴LK²=LU×LD，即：LS×LT=LU×LD，∴S、U、D、T四点共圆。连接TD，有：∠STD=∠BUV，即：∠LTD=∠BUV=∠AVU-∠B=∠ACU-∠B，即：∠LTD=∠ACB-∠B。连接NL、ND，则NL为△ABC的中位线，∴NL∥AC，∴∠ACB=∠NLB，又∵点N为Rt△ADB斜边上的中点，∴NB=ND，即：∠B=∠NDB，亦即：∠B=∠NDL，于是：∠LTD=∠ACB-∠B=∠NLB-∠NDL=∠LN

4、D，∴N、L、D、T四点共圆，而过N、L、D的圆为△ABC的九点圆，所以点T在△ABC的九点圆上。过点T作⊙I的切线TX，∵TX和SV都是⊙I的切线，且与弦ST所夹的圆弧相同，于是有：∠XTS=∠VST，即：∠XTL=∠VST，又∵S、U、D、T四点共圆，∴∠VST=∠UDT，即：∠VST=∠LDT，∴∠XTL=∠LDT，∴TX与△LDT的外接圆相切，而△LDT的外接圆即为△ABC的九点圆，因此，⊙I与△ABC的九点圆内切于点T。2、旁切圆：VXYRSAKTNIQBLDCPU如图，设△ABC的边AC侧的旁切圆的内心为I，旁切圆与三边的切点分别为P、Q、R，BC边上的中点为L、

5、AB边上的中点为N，BC边上的垂足为D。连接AI，并延长交BC的延长线于点U，过点U作⊙I的切线，切点为S，交BA的延长线于V，连接LS，交⊙I于点T。现在证明⊙I与△ABC的九点圆相切于点T。∵AV、AC、UV、UC均与⊙I相切，∴∠AIR=∠AIQ、∠UIS=∠UIP，∴∠RIS=∠QIP，而∠VRI、∠VSI、∠CQI、∠CPI均为直角，∴∠RVS=∠QCP，即：∠AVU=∠ACU，又∵∠VAU=∠CAU（AU为∠VAC的角平分线）及AU共线，有：△AVU≌△ACU，∴AV=AC，又P、Q、R为⊙I旁切△ABC的切点，∴2LP=(BL+LP)+(LP-LC)=BP+CP

6、=BR+CQ=(AB+AR)+CQ=(AB+AQ)+CQ=AB+(AQ+CQ)=AB+AC=AB+AV=BV。连接VC，交AU于点K，由AV=AC、∠VAK=∠CAK及AK共线，有：△AVK≌△ACK，即：AK为VC的垂直平分线，连接LK，则LK是△BVC的中位线，∴BV=2LK，∴LP=LK。又∵LP为⊙I的切线，LTS为⊙I的割线，∴LP²=LT×LS，即：LK²=LT×LS。连接KD，并取DA延长线上任一点Y，∵LK∥BV，即：LK∥AB，∴∠LKU=∠BAU=∠BAD+∠DAC+∠CAU=∠YAV+∠DAC+∠VAU=∠YAU+∠DAC，即：∠LKU=∠YAK+∠DA

7、C，又∵AD⊥DC、AK⊥KC，∴A、D、C、K四点共圆，∴∠YAK=∠DCK、∠DAC=∠DKC，即：∠LKU=∠DCK+∠DKC=∠LDK，∴∠LUK=∠LKD，即：∠DUK=∠LKD，亦即：LK与△DUK的外接圆相切，∴LK²=LD×LU，即：LT×LS=LD×LU，∴S、U、D、T四点共圆。连接TD，有：∠LTD=∠SUD，即：∠LTD=∠VUB。连接NL、ND，则NL为△ABC的中位线，∴NL∥AC，∴∠ACB=∠NLB，又∵点N为Rt△ADB斜边上的中点，∴NB=ND，即：∠B=∠NDB，亦