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时间:2019-07-18
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1、巅峰冲刺山东省2020年高考数学一轮考点扫描专题07二次函数与幂函数一、【知识精讲】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0,+∞)上都有定义;②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式:一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).顶点式:f
2、(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域对称轴x=-顶点坐标奇偶性当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数;在上是增函数在上是增函数;在上是减函数[微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠
3、0),则当时恒有f(x)>0,当时,恒有f(x)<0.二、【典例精练】考点一 幂函数的图象和性质【例1】(1)幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)是( )A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是减函数(2)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )A.a
4、(3,)代入f(x)=xα,解得α=,所以f(x)=x,可知函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选C.(2)因为y=x在第一象限内是增函数,所以a=>b=,因为y=是减函数,所以a=1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.考点
5、二 二次函数的解析式【例2】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.【解析】 法一 (利用“一般式”解题)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.法二 (利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为x==,所以m=.又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,所以y=f(x)=a+8.因为f(2)=-1,所以a+8=
6、-1,解得a=-4,所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.法三 (利用“零点式”解题)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8,即=8.解得a=-4或a=0(舍).故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.【解法小结】 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:考点三 二次函数的图象及应用【例3】(1)对数函数y=
7、logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是( )(2)(2017·浙江卷)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关【答案】(1)A (2)B【解析】(1)若01,则y=logax在(0,+∞)
8、上是增函数,y=(a-1)x2-x图象开口向上,且对称轴在y轴右侧,因此B项不正确,只有选项A满足.(2) 设x1,x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m=x+ax1+b,M=x+ax2+b.∴M-m=x-x+a(x2-x1),显然此值与a有关,与b无关.【解法小结】 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常
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