《二面角》进阶练习（三）

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1、《二面角》进阶练习一、选择题1.如图所示，在四面体P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B-AP-C的余弦值为（　　）A.        B.        C.        D.2.在矩形ABCD中，，在DC上截取DE=1，沿AE将△AED翻折得到△AED1，使点D1在平面ABC上的射影落在AC上，则二面角D1-AE-B的平面角的余弦值为（　　）A.        B.        C.        D.3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，线段B1A1，B1C1上（不包括端点）各有一点P，Q，且B1P=B

2、1Q，下列说法中，不正确的是（　　）A.A，C，P，Q四点共面                        B.直线PQ与平面BCC1B1所成的角为定值C.＜∠PAC＜    D.设二面角P-AC-B的大小为θ，则tanθ的最小值为二、填空题4.在直角坐标系中，已知两点，沿轴把直角坐标平面折成直二面角后，则两点间的距离为三、解答题5.如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB=2，PA=．(1)求证：PA⊥B1D1；(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角θ的大小；(3)求B1到平面PAD的距离．参考答案

3、1.B2.C3.D4..5.证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，又∵AC⊥BD，∴PA⊥BD，∵BD∥B1D1，∴PA⊥B1D1．解：(2)∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥面PBD，过点O作OM⊥PD于点M，连接AM，则AM⊥PD，∴∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，又∵AB=2，PA=，∴OD=，PO=，OM=，∴tan∠AMO=，即二面角的大小为arctan．(3)分别取AD，BC中点E，F，作平面PEF，交底面于两点S，S1，交B1C1于点B2，过点B2作B2B3⊥PS于点B3，则B2B3⊥面PAD，又B

4、1C1∥AD，∴B2B3的长就是点B1到平面PAD的距离．∵PO=AA1=2，∴EF=，tan∠PSS1=，sin∠PSS1=，∴B2B3=B2Ssin∠PSS1=．1.  解：设AB=BC=CA=PC=a．知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，知BD⊥AC，故D为B点在平面PAC的投影．而△PAD为△PAB在平面PAC的投影．△PAD的面积为：S==，△PAB中，PA=PB=，AB=a．由余弦定理，解得cos∠APB==．从而sin∠APB=．△PAB的面积为S′==，设二面角B-AP-C为α，由投影定理得cosα===．故答案

5、为：．设AB=BC=CA=PC=a．知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中点D连接BD，PD，得△PAD为△PAB在平面PAC的投影．二面角B-AP-C为α，由投影定理得cosα=．本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．2.  解：取AE的中点F，点D1在平面ABC上的射影为O，连接D1F，OF∵AD=DE=1，∴AD1=D1E=1∴D1F⊥AE，且D1F=∵点D1在平面ABC上的射影为O，∴OF⊥AE∴∠D1FO为二面角D1-AE-B的平面角在△ADO中，∠ADO=45°，∠DAC=60°，∴，∴DO=∴

6、OF=DO-DF=∴cos∠D1FO==故选C．确定二面角D1-AE-B的平面角，再计算D1F、OF，即可求得二面角D1-AE-B的平面角的余弦值．本题考查平面图形的翻折，考查面面角，解题的关键是确定二面角D1-AE-B的平面角．3.  解：正方体ABCD-A1B1C1D1中，线段B1A1，B1C1上（不包括端点）各有一点P，Q，且B1P=B1Q，如图：当PQ连线与AC平行时，A，C，P，Q四点共面，∴A正确；直线PQ与平面BCC1B1所成的角为定值，显然正确，P在平面BCC1B1的射影是B1，线段B1A1，B1C1上（不包括端点）各有一点P，Q，

7、且B1P=B1Q，直线PQ是一族平行线与平面BCC1B1所成的角为定值，∴B正确；对于C，当P在A1B1的中点时，不妨设作法的棱长为2，cos∠PAC==∈（0，），∠PAC是锐角，∴＜∠PAC＜，正确；对于D，作PE⊥AB于E，过E作EF⊥AC于F，θ=∠PFE，则tanθ的最小值时EF最大，此时P在B1，tanθ=，∴D不正确．故选：D．利用平面的基本性质判断A的正误；直线与平面所成角判断B是正误；通过特例判断C的正误；通过二面角的大小求解判断D的正误．本题考查正方体中的直线与平面的位置关系，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．4.  

8、设一，二象限所在的半平面为，三，四象限所在的半平面为，过点,因为是直二面角，,,所以，因为C(4,0),得，故在.5.