[理学]向量的乘法

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1、第三节向量的乘法一、向量的数量积二、向量的向量积三、向量的混合积四、小结、思考题实例一、两向量的数量积启示我们可以定义向量的一种乘法运算两向量作这样的运算,结果是一个数量.数量积也称为“点积”、“内积”.=·0，有0·显然，对任何向量=0由此得定义推导数量积的坐标表达式如右图,由余弦定理得:设则上式可写成于是如果是任意向量,λ,μ是任意实数,那么交换律数乘结合律分配律运算律:两向量夹角余弦满足若向量与夹角则称与正交(或垂直),记作若则证定理若与有一个为,结论显然成立不妨设若则定理的坐标形式为解例2已知点M(1,1,1),A

2、(2,2,1),B(2,1,2),求∠AMB．MBMA解∠AMB可以看成向量与的夹角,而MA=(2-1,2-1,1-1)=(1,1,0)MB=(2-1,1-1,2-1)=(1,0,1)故MA·MB=1×1+1×0+0×1=1MAMB带入公式实例二、两向量的向量积定义关于向量积的说明：向量积也称为“叉积”、“外积”.(反交换律),并规定(ⅰ)(ⅱ)向量积符合下列运算规律：分配律如果是任意向量,λ,μ是任意实数,那么结合律例5设是两个向量,证明:∥////证设均为非零向量(否则命题不证自明)设向量积的分解表达式:向量积还可用行

3、列式表示即两向量的向量积的几何意义:(ⅰ)(ⅱ)与一切既平行于又平行于的平面垂直例6设平面Π过空间三点A(1,0,0)、B(3,1,-1)、C(2,-1,2),求一个垂直于平面Π的向量解ABAC与显然不共线且都在面Π内故可取解三角形ABC的面积为例8设刚体以等角速率ω绕l轴旋转，计算刚体上一点M的线速率。解刚体旋转时,我们可用转动轴l上的向量表示角速度,它的大小，它的方向按右手法则定出,如右图.设点M到l轴的距离为a,任取l轴上一点记为O，并记,若用θ表示与的夹角,则有orθωMa从物理中知道,线速率与角速率有如下关系：又

4、符合右手法则,因此得定义设三、向量的混合积下面推导混合积的坐标表达式因为所以即显然（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：例9已知空间内四点A(1,1,1),B(3,4,4),C(3,5,5)和D(2,4,7),求四面体ABCD的体积.解故而AB=(2,3,3),AC=(2,4,4),AD=(1,3,6),于是例10问点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3)和D(10,15,17)四点是否在同一平面上？解AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),而因此AB、AC、AD共面，即

5、A、B、C、D在同一个平面上向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）四、小结思考题思考题解答练习题练习题答案