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Matlab仿真及其应用主讲：陈孝敬E-mail:chenxj9@163.com 主要内容：①矩阵运算；②矩阵元素运算；第3章数学运算 3.1矩阵运算3.1.1矩阵分析1．向量范式定义：向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为：(1)norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。(2)norm(V,1)：计算向量V的1—范数。(3)norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。 例3-1求向量x=[1,2,3,4,5]和y=[3,0,5,2,2]间的距离x=[1,2,3,4,5];y=[3,0,5,2,2];norm(x,1);%1-范式norm(x,inf);%∞—范数norm(x);e=x-y;norm(e); 2．矩阵的秩：矩阵中线性无关的列（行)向量个数,称为列（行）秩。Matlab中用函数rank（）来计算矩阵的秩。例3-2求向量eye（4)，magic（4）和A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]的秩。rank(eye(4));rank(magic(4));rank(A); 3．矩阵的行列式：Matlab中用函数det（）来计算矩阵的行列式。例3-3求向量eye（4)，magic（4）和A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]的行列式。det(eye(4));det(magic(4));det(A); 4．矩阵的行列迹：矩阵的迹定义为对角元素之和。Matlab中用函数trace（）来计算矩阵的行列式。例3-4求向量eye（4)，magic（4）和A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]的行列式。trace(eye(4));trace(magic(4));trace(A); 5．矩阵化零矩阵：对于非满秩矩阵A，若存在矩阵Z使得AZ=0且ZZ=I，则称矩阵Z为矩阵A的化零矩阵。Matlab中用函数null（）来计算矩阵的化零矩阵。例3-5求矩阵A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]的化零矩阵。Z=null(A)验证AZ=0的具体代码如下：AZ=A*Z验证ZTZ的具体代码如下：ZTZ=Z’*Z 6．矩阵的正交空间：矩阵A的正交空间Q满足QTQ=I，且矩阵Q与A具有相同的列基底，Matlab中用函数orth（）来计算正交空间Q。例3-6求矩阵A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]和A2=[1,2,3;4,5,6;7,8,9;10,11,12]的正交空间Q。Q=orth(A1)R=orth(A2) 7．矩阵的简化化梯形式：矩阵A的简化化梯形式为，其中为r阶单位矩阵。Matlab中用函数rref()来计算矩阵的简化梯形形式例3-7求矩阵A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]和A2=[1,2,3;1,1,5;7,8,9;10,11,12]的正交空间Q。Q=rref(A1)R=rref(A2) 9．矩阵空间之间的角度：矩阵空间之间的角度代表具有相同行数的两个矩阵线性相关程度，夹角越小代表线性相关度越高。Matlab中用函数subspace（）来计算矩阵空间之间的角度。例3-9求矩阵A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]和A2=[1,2;3,4;5,6]之间的夹角Q。Q=subspace(A1,A2) 3.1.2线性方程组Ax=b有x=A-1b，但实际上并不显式求A-1例子：7x=21x=21/7=3如果求逆x=7-1×21=.142857×21=2.99997这就需要一次除和一次乘，且精度更低 Backslash运算符AX=BX=AB左除XA=BX=B/A右除 3-by-3的例子 线性方程组的解结构齐次线性方程组的解结构非齐次线性方程组的解结构 1.齐次线性方程组的解结构例3-10.判别方程组有无非零解,若有,写出其通解.解在MATLAB中输入该方程组的系数矩阵A并将它化为最简行阶梯形矩阵,所用命令如下:>>A=[12-1;252;147;133];>>rref(A) ans=10-9014000000由阶梯形矩阵可知R(A)=2<3,所以齐次线性方程组有非零解,即有无穷多个解.该齐次线性方程组通解的参数形式为其中k为任意实数. 例3-11.用基础解系表示齐次线性方程组的通解.解所用MATLAB命令及运行结果为>>A=[11111;3211-3;01226;5433-1];>>formatrat>>B=null(A,′r′)%求基础解系 B=115-2-2-6100010001>>symsk1k2k3%定义符号参数>>X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3)X=[k1+k2+5*k3][-2*k1-2k2-6k3][k1][k2][k3] 即为方程组的通解,其中k1,k2,k3为任意实数. 2.非齐次线性方程组的解结构例3-12.求解方程组解在Matlab中输入系数矩阵及常数列向量,并检验系数矩阵是否逆,所用命令及结果如下>>A=[211;312;1-10];>>b=[33-1]′;>>det(A)%检验A是否可逆ans=2系数矩阵行列式值等于2,是可逆的,则可以用矩阵相除来求解.>>X=AbX=12-1即是原方程组的解. 3.1.2矩阵分解矩阵分解：把矩阵分解成比较简单或对它性质比较熟悉的若干矩阵的乘积的形式；1．Cholesky分解：Cholesky分解是把对称正定矩阵表示成上三角矩阵的转置与其本身的乘积，即：A=RTR，在Matlab中用函数chol来计算Cholesky分解例3-13求矩阵A=pascal（4）的Cholesky分解，A=pascal(4)R=chol(A)R’*R 2．LU分解：LU分解是将任意一个方正A分解成为一个交换下三角矩阵L(或是排列(permuted)的上三角形矩阵)和一个上三角矩阵U的乘积，A=LU，在Matlab中用函数lu来计算LU分解例3-14求矩阵A=[1,4,2;5,6,9;4,1,8]的LU分解，[L1,U1]=lu(A)L1*U1 3．奇异分解：奇异值分解就是将的矩阵A分解为U*S*V，其中U为的酉矩阵，V为的酉矩阵，S为，并可以表示如下：，其中，r=rank（A)，，Matlab中奇异值是有函数svd（）实现的。用svd计算矩阵A=[142;569]例3-15求矩阵A=[142;569]的奇异分解，[U,S，V]=SVD(A) 4．QR分解：QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。Matlab以qr函数来执行QR分解法，其语法为[Q,R]=qr(A)。例3-15求矩阵A=[142;569]的奇异分解，[U,S]=qr(A) 3.1.3矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值与特征向量 在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有3种：(1)E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。(2)[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。 例3-16求矩阵A=[6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15]的特征值和特征向量[V,D]=eig(A);例3-17用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0 p=[3,-7,0,5,2,-18]; A=compan(p);%A的伴随矩阵x1=eig(A)%求A的特征值x2=roots(p)%直接求多项式p的零点 例3-18.求解方程组解先用Matlab函数null求出对应的齐次线性方程组的基础解系,再利用其系数矩阵的上、下三角阵求出方程组的一个特解,这样即可得到该方程组的通解,程序如下:>>A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];>>b=[140]′;>>formatrat>>C=null(A,′r′);%求基础解系>>[L,U]=lu(A);%A=LU,L为上三角阵,U为下三角阵>>X0=U(Lb)%用LU求出一个齐次方程的特解 >>symsk1k2>>X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)+X0运行结果为X0=00-8/153/5X=[3/2*k1-3/4*k2][3/2*k1+7/4*k2][k1-8/15][k2+3/5]即为该非齐次方程组的通解,其中k1,k2为任意实数. 3.2矩阵元素运算矩阵运算主要是对矩阵里的每个元素进行运算！3.2.1三角函数（p48）例3-18计算矩阵A=[6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15]每个元素的正弦,其中元素值的单位为弧度。Y=sin(A);3.2.2指数和对数函数（p48-49）例3-19计算矩阵A=[6,12,19;-9,-20,-33;4,9,15]每个元素的正指数和对数,其中元素值的单位为弧度。Y=exp(A);Y1=log2(abs(A)); 3.2.2截断和求余函数（p49-50）例3-21分别使用函数mod()和rem(),对标量除法-5/2进行求余。rem(-5,2)mod(-5,2)例3-22计算向量a=-4:2:6每个元素的符号。a=-4:2:6;B=sign(a) 3.2.3坐标变换函数（P52）例3-23将迪卡尔坐标系中（1，1，1）分别转换到球坐标系和极坐标中。[THETA,PHI,R]=cart2sph(1,1,1)P=[THETA,PHI,R][THETA,PHI,Z]=cart2pol(1,1,1)Q=[THETA,PHI,Z]R=[P;Q]
