2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练

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1、2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练【题型归纳】题型一一元二次不等式解法及其应用例1若，，则一定有（）A．B．C．D．【答案】【解析】由，又，由不等式性质知：，所以例2关于的不等式（）的解集为，且，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】∵由()，得，即，∴.∵，∴．故选A．例3不等式的解集是___________．【答案】【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可．例4已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得对于上恒成立，9即，解得．题型二应用基本不等式求函数最值例1已知，则函数

2、的最大值.【答案】1【解析】因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项.，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，.【易错点】注意,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”.【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值.例2当时，则的最大值是.【答案】.【解析】因为当且仅当，即时取等号，所以当时，的最大值为.【思维点拨】由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可.例3函数的值域为。【答案】【解析】当,即时

3、,（当且仅当x＝1时取“＝”号）.9【思维点拨】本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离.例4已知，且，则的最小值为.【答案】16【解析】，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，.【易错点】错解：，且，故错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。【思维点拨】多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.例5已知，

4、为正实数，，则函数的最小值是.【答案】【易错点】①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.【思维点拨】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。题型三线性规划9例1已

5、知，则：(1)的最大值；(2)的最小值；(3)的取值范围是.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线过点时，z最大.所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.(2)表示可行域内任一点到定点M(0,5)的距离的平方，过点作直线的垂线，易知垂足在线段上，故的最小值是.(3)表示可行域内任一点与定点连线斜率的2倍.因为，，所以的取值范围为.【易错点】作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域.【思维点拨】(1)把直线直线变形为可知在轴上你的截

6、距越大就越大;（2）根据点线距离求即可；（3）先确定定点再利用斜率求.例2已知则的最小值是.【答案】【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方，由图易知是满足条件的最优解，的最小值是为.9【思维点拨】本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。题型四基本不等式的应用例1已知、、，且。求证：.【答案】、、，同理，上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得:，当且仅当时取等号.【思维点拨】不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三

7、个“2”连乘，又，可由此变形入手.例2若，则的大小关系是.【答案】【解析】∵∴，则（∴.【思维点拨】因为所以可以利用均值不等式进行判断大小.【巩固训练】题型一一元二次不等式解法及其应用1.不等式的解集为___________．【答案】【解析】易得不等式的解集为.2.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】因为不等式在上恒成立．∴△=，解得．93.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为．【答案】【解析】因为的值域为[0,+∞），所以即,所以的两根，由韦达定理得解得.4.已知

8、函数,则满足不等式的的范围是_____．【答案】【解析】．5.已知的定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集_____．【答案】(－7,3)【解析】当≥0时，令，解得，．又因为为定义域为R的偶函数，则不等式等价于，即－7＜＜3；故解集为(－7,3)．题型二应