[小学教育]弯曲变形

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1、第六章弯曲变形第一节引言一、工程实际中的弯曲变形问题在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。桥式起重机的横梁变形过大，则会使小车行走困难，出现爬坡现象。但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。测力矩扳手，利用手柄的变形量，测得力矩。二、弯曲变形的基本概念：挠度和转角是度量弯

2、曲变形的两个基本量。挠曲线yxyx1.挠曲线：xoy平面为梁的纵向对称面，在对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线由直线变为xoy平面内的一条曲线。在弹性变形范围内，梁的挠曲线是一条连续、光滑的平面曲线。2.挠度w挠度C'CAByx某一横截面的形心在垂直于梁的轴线的y方向的位移。用w表示称为该截面的挠度.用w表示.3.转角转角AC'CwBxw挠度（梁的横截面对其原来位置转过的角度,称为该截面的转角.用表示4.挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线.式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度.挠曲线wABx转角w挠度（C'C挠曲线方

3、程为5.挠度与转角的关系wABx转角w挠度C'C挠曲线6.挠度和转角符号的规定挠度向上为正,向下为负.转角自x转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.wABx转角w挠度C'C挠曲线第二节、梁的挠曲线近似微分方程一、曲线的曲率：利用《高等数学》中知识，曲线y=f(x)的任意一点处的曲率：二、挠曲线微分方程：利用前面推导公式：得到挠曲线微分方程：三、弯矩M与w″的正负关系：弯矩M与w″恒为同正负符号四、挠曲线近似微分方程：由转角方程：可知：是高阶微量，可以忽略。得到挠曲线近似微分方程：第三节、用积分法计算弯曲变形设梁的某一段为等截面

4、梁，EI为常数，如果已知梁的弯矩方程M(x)，可以解出梁的挠曲线方程w=w(x)，转角方程θ=θ(x)。一、积分公式：式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定例题1：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：⑴、如图建立坐标系，列弯矩方程：(2)、列挠曲线近似微分方程并进行积分：得转角方程得挠曲线方程二、积分常数的确定：梁上某些特殊位置的截面，其位移是已知的，可以确定积分常数。1、边界条件：在挠曲线的某些特殊点上，挠度值或转角值等于零。这些已知的位移条件或位移约束条件，

5、称为边界条件。AB在简支梁中,左右两铰支座处的挠度和都等于0.在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角都应等于0.AB变形的对称点上：w≠0，θ=0；2、连续条件：挠曲线是一条光滑、连续的曲线，在挠曲线任意点上，有唯一的确定的w和θ，挠曲线在分段处应满足光滑、连续条件,即分段处左右两截面应具有相同的w和θ。如：w左=w右，θ左=θ右；接例题1：⑶、确定积分常数：由边界条件：⑷、梁的转角方程和挠曲线方程分别为：⑸、最大转角和最大挠度分别为：负号表示截面为顺时针方向转动：正号表示截面为反时针方向转动。例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠

6、度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解：1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：3）列挠曲线近似微分方程AC段：CB段：4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件5）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：6）确定最大转角和最大挠度最大挠度应该首先确定转角θ=0的截面位置。（如何确定？）可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度例题3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：⑴、由对称性，只考虑半跨梁ACD。如图建立坐标系，将ACD部分分成AC、CD两段，列弯矩

7、方程：(2)、列挠曲线近似微分方程并进行积分：⑶、确定积分常数：由连续条件：由边界条件：由对称条件：⑷、梁的转角方程和挠曲线方程分别为：⑸、最大转角和最大挠度分别为：作业：6---3b、4b、8a*第四节、用叠加法计算弯曲变形1.叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后按代数值叠加。2.叠加原理的限制：载荷与它所引起的变形成线性关系。因此要求（1）材料是线弹性材料，服从胡克定律；（2）弯曲变形很小。常见梁的变形公

8、式、特殊点变形量计算公式列于附表中，叠加法通常与查附表相结合，查表时，注意公式正负号的变化，对应的F、q、a、b值。例题4：用叠加法求解：例题5：用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。解：⑴、假想