[信息与通信]信号与系统教案第4章

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1、第四章连续系统的频域分析4.1周期信号的傅里叶级数4.2非周期信号的频谱——傅里叶变换4.3傅里叶变换的性质4.4周期信号的傅里叶变换4.5LTI系统的频域分析4.6取样定理4.1周期信号的傅里叶级数一、三角函数形式例。已知信号表达式：判断信号是否为周期的。若是，试求基波频率。二、指数形式4.1傅里叶级数三、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数——对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。4.1傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数——f(t)=

2、–f(t±T/2)此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=04.1傅里叶级数四、周期信号的功率——Parseval等式周期信号一般是功率信号，其平均功率为例：周期信号f(t)=试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。五、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,n=0,±1，±2，…Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4τ画图。零点为所以，m为整数

3、。特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。4.2傅里叶变换4.2非周期信号的频谱—傅里叶变换一、傅里叶变换傅里叶变换式傅里叶反变换式4.2傅里叶变换也可简记为F(jω)=F[f(t)]f(t)=F–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是复函数，写为F(jω)=

4、F(jω)

5、ej(ω)=R(ω)+jX(ω)函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:用下列关系还可方便计算一些积分4.2傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换单

6、边指数函数f(t)=e–tε(t)，>0实数2.双边指数函数f(t)=e–t,>04.2傅里叶变换3.门函数(矩形脉冲)4.冲激函数(t)、´(t)4.2傅里叶变换5.常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。例。求f(t)的傅里叶变换。4.3傅里叶变换的性质4.3傅里叶变换的性质一、线性如果f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)则[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]4.3傅里叶变换的性质例。F(

7、jω)=?则:f(t)=f1(t)–g2(t)f1(t)=1←→2πδ(ω)g2(t)←→2Sa(ω)∴F(jω)=2πδ(ω)-2Sa(ω)‖-4.3傅里叶变换的性质二、时移性质如果f(t)←→F(jω)例。F(jω)=?4.3傅里叶变换的性质三、对称性质如果f(t)←→F(jω)则F(jt)←→2πf(–ω)例←→F(jω)=?*ifF(jω)=?4.3傅里叶变换的性质四、频移性质如果f(t)←→F(jω)则例、f(t)=ej3t←→F(jω)=?f(t)=cosω0t←→F(jω)=?f(t)

8、cosω0t←→?4.3傅里叶变换的性质五、尺度变换性质如果f(t)←→F(jω)则例若f(t)←→F(jω),求f(at–b)←→?例f(t)=←→F(jω)=?4.3傅里叶变换的性质六、卷积性质若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)则f1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)若f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)则f1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)4.3傅里叶变换的性质例。4.3傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分若f(t)←→F(jω

9、)则Proof:f(n)(t)=(n)(t)*f(t)←→(jω)nF(jω)f(-1)(t)=(t)*f(t)←→4.3傅里叶变换的性质f(t)=1/t2←→?例例求f(t)←→F(jω)4.3傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分若f(t)←→F(jω)则(–jt)nf(t)←→F(n)(jω)例f(t)=tε(t)←→F(jω)=?例九、帕斯瓦尔关系4.3傅里叶变换的性质例试求信号的能量。4.3傅里叶变换的性质十、奇偶性(Parity)若f(t)为实函数,则=R(ω)+jX(ω)则R(ω)=

10、R(–ω),X(ω)=–X(–ω)

11、F(jω)

12、=

13、F(–jω)

14、,(ω)=–(–ω)若f(t)为实偶,则X(ω)=0,F(jω)=R(ω)若f(t)为实奇,则R(ω)=0,F(jω)=jX(ω)4.4周期信号的傅里叶变换4.4周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换1←→2πδ(ω)由频移特性得ejω0t←→2πδ(ω–ω0)e–jω0t←→2πδ(ω+ω0)cos(ω0t)=½(ejω0t+e–jω0t)←→π[δ(ω–ω0)+δ(ω+ω0)]sin(ω0t