[信息与通信]信号抽样与抽样定理

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1、第四章连续时间系统的频域分析主讲：邢砾云§4.10信号抽样与抽样定理在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并不丢失原来信号所包含的信息。例1.一幅新闻照片局部放大后的图片：例2.另一幅新闻照片：局部放大后的图片：例3.CCD芯片的光显微图：CCD芯片用VLSI技术制造。被分为许多微小区，每个小区的尺寸为13*11（对应一个象素），在10*9.3

2、面积上有500*582个象素。当光成象在CCD芯片上时，就在这些空间离散的象素点上被采样，而生成了离散时间图象信号。一维连续时间信号采样的例子：在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地确定原来的连续时间信号。对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会得到不同的样本序列。二、信号抽样(连续信号离散化)在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过程称为采样。抽样过程假设原连续信号f(t)的频谱为F(ω)，即抽样脉冲p(t)是一个周期信号，它的频谱为三、连续信号频谱与抽样信号频谱之间关系所以抽样

3、信号的频谱为其中，为抽样角频率，为抽样间隔，为抽样频率，在时域抽样（离散化）相当于频域周期化频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。(1)冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。冲激序列的傅立叶系数为所以冲激抽样信号的频谱为抽样信号的频谱是以ωs为周期等幅地重复三、连续信号频谱与抽样信号频谱之间关系频谱图：三、连续信号频谱与抽样信号频谱之间关系(2)周期矩形脉冲抽样若抽样脉冲是周期矩形脉冲，则这种抽样称为周期矩形脉冲抽样。也称为自然抽样在矩形脉

4、冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过程中，幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数的加权。周期矩形脉冲的傅立叶系数为则抽样信号的频谱为三、连续信号频谱与抽样信号频谱之间关系幅度不再是等幅，受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系数的加权三、连续信号频谱与抽样信号频谱之间关系（1）抽样信号中是否包含了原信号的全部信息？（2）如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信号？抽样定理从理论上回答了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。四、时域抽样定理

5、0FS(jw)wwcwsws-wmwm-wm-ws要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信号，就意味着要能从中不失真地分离出。这就要求在周期性延拓时不能发生频谱的混叠。为此必须要求:1.必须是带限的，最高频率分量为。2.采样间隔(周期)不能是任意的，必须保证采样频率，。FS(jw)FS(jw)F(jw)f(t)wmws>=2wmws=2π/T四、时域抽样定理四、时域抽样定理四、时域抽样定理时域抽样定理：一个频谱受限的信号f(t)，如果频谱只占据的范围，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一地表示，只要抽样间隔不大于，其

6、中为信号的最高频率，或者说，抽样频率满足条件通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔称为奈奎斯特间隔。在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为的理想低通滤波器，即可从抽样信号fs(t)中无失真恢复原连续信号f(t)。五、连续时间信号的重建因为所以，选理想低通滤波器的频率特性为若选定，则有理想低通滤波器的冲激响应为若选，则而冲激抽样信号为五、连续时间信号的重建则连续低通滤波器的输出信号为说明：（1）信号可以展开成抽样函数的无穷级数，该级数的系数等于抽样值；（2）若在抽样信号的每个样点处，

7、画出一个峰值为的Sa函数波形，那么其合成信号就是原连续信号；结论：只要已知各抽样值，就能唯一地确定出原信号。五、连续时间信号的重建注意：在实际工程中要做到完全不失真地恢复原连续信号是不可能的。五、连续时间信号的重建原因解决方法有限时间内存在的信号，其频谱理论上是无限宽的在信号被抽样之前，首先通过低通滤波器（称为防混叠低通滤波器）理想低通滤波器无法实现逼近理想低通滤波器的特性实际中的抽样一般是平顶的矩形脉冲抽样在用低通滤波器之前，加一个频率响应为1/P(ω)的补偿低通滤波器假设连续频谱函数为F(ω)，抽样频谱函数为FS(

8、ω),即在频域抽样有假设FS(ω)对应的时间信号为fs(t)，则有四、频域抽样与频域抽样定理说明：信号在频率域抽样（离散化）等效于在时间域周期化。频域抽样定理：频域抽样定理表明，一个时间受限的信号f(t)，如果时间只占据的范围，则信号f(t)可以用等间隔的频率抽样值唯一地表示，抽样间隔为，它必须满足条件，其中例：大致画出图所示周期