[交通运输]飞行器结构动力学_第2章

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1、第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动2.2单自由度系统的强迫振动2.3单自由度系统的工程应用2.4阻尼理论第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动第2章单自由度系统的振动振动系统连续模型：无限个自由度离散模型：有限个自由度离散模型的基本元素弹性元件阻尼元件惯性元件单自由度线性系统最简单的离散模型作为较复杂系统的初步近似构成离散模型的元素2.1单自由度系统的自由振动弹性元件——弹簧最典型的弹性元件，假定无质量线性弹簧:x2-x1较小时，Fs＝k(x2-x1)k:弹

2、簧常数或弹簧刚度，单位（N/m）通常称为阻尼器（damper），一般假设无质量。常见的阻尼模型阻尼元件粘性阻尼（viscousdamping）：导致物体在粘性流体中运动时受到的阻力。最常见、线性干摩擦阻尼（Coulombdamping）：相邻构件间发生相对运动所致。非线性结构阻尼（structuraldamping）：材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。复杂2.1单自由度系统的自由振动如无特别说明，本课程所说的阻尼均指粘性阻尼阻尼力粘性阻尼系数：比例系数c，单位（N-s/m）阻尼

3、器通常用c表示。线性模型2.1单自由度系统的自由振动惯性元件2.1单自由度系统的自由振动离散系统的质量元件，惯性力质量m：比例系数，单位（kg）。弹性元件的组合2.1单自由度系统的自由振动等效刚度（2-2）串联（2-3）并联消掉x0（2-4）（2-5）（2-1）（2-6）等效刚度2.1单自由度系统的自由振动2.1.1单自由度系统的运动方程单自由度弹簧-阻尼器-质量（SDM）系统（无摩擦）牛顿法（2-7）代入（2-8）二阶常系数常微分方程。常数m，c，k是描述系统的系统参数。2.1单自由度系统的自由振动系统的无阻尼自

4、然角频率(rad/s)（2-9）（2-10）2.1.2无阻尼自由振动F(t)=0，c=0运动方程（2-9）式的通解理想状态，实际上阻尼或多或少存在令，（2-11）2.1单自由度系统的自由振动（2-12）（2-10）还可写成（2-13）幅值初相位由（2-11）和（2-13）可得2.1单自由度系统的自由振动系统以固有频率ωn作简谐振动，称为简谐振荡器相位角：位移从初始值达到最大值的时间。无能量损耗，运动会持续下去（保守系统）响应曲线例2-1半径为R的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并

5、证明此壳体的运动象简谐振子，计算振子的自然振动频率。2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动（a）运用理论力学中平面运动的理论建立运动方程。壳体倾斜角θ，c为壳体与表面接触点在无滑动情况下，壳体瞬时绕c点转动对c点取矩，可得系统的运动微分方程。解：Ic：绕c点的转动惯量Mc：重力作用下的恢复力矩2.1单自由度系统的自由振动（b）（c）壳体对C点的转动惯量为:dw：给定角φ位置的微元体重量r：壳体单位面积的质量。小幅振动（θ很小），sinθ≈θ，cosθ≈1，将（b）、（c）代入（a），得到:（d）（e）（

6、f）整理可得:当θ很小时，系统运动的确象简谐振子，其自然频率为:（a）2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动对于复杂系统，是简便的固有频率求解方法任选两个时刻，系统机械能总和相等状态1：m通过静平衡位置时刻－此点为势能参考点，U1＝0，动能最大T1＝Tmax状态2：到达最大位移处的时刻－势能最大U2＝Umax，动能最小T2＝0能量法无阻尼质量-弹簧系统，运动中机械能不变，维持等幅振荡或mk1k2o（瑞雷法Rayleigh）2.1单自由度系统的自由振动系统作简谐振动令那么采用瑞雷法时，假定振动形式越接近

7、实际情况，结果越准确（弹簧并联）2.1单自由度系统的自由振动（2-19）(2-20)2.1.3有阻尼自由振动粘性阻尼因子：将（2-19）代入（2-18b）有阻尼自由振动方程（2-18a）（2-18b）写成:系统特征方程系统的通解2.1单自由度系统的自由振动阻尼因子ζ对响应的影响。(2-20)ζ=0：两个复根±iωn，此时系统为简谐振子。0＜ζ＜1：一对复共轭根，对称地位于实轴两侧，并位于半径为ωn的圆上。ζ=1：s1、s2均为－ωn，落在实轴上。ζ＞1：特征方程的根始终在实轴上,且ζ→∞，s1→0、s2→∞系

8、统的通解:（2-22）（2-19）（2-21）系统的通解2.1单自由度系统的自由振动z的影响过阻尼(ζ＞1)（2-22）2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动ζ＞1非振荡，且随时间按指数规律衰减→0x(t)的形状取决于A1和A2，也即取决于x0和v02.1单自由度系统的自由振动指数衰减的响应。有