飞行器结构动力学_第7章课件.ppt

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1、第7章工程振动中的数值方法7.1结构动态特性分析7.2结构动态响应分析7.3有限元方法简介7.4子结构模态综合法简介数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。工程结构的动态分析包括结构的动态特性分析结构动态响应分析7.1结构动态特性分析7.1.1特征值问题的性质无阻尼自由振动方程简谐运动（7.1-1）（7.1-2）（7.1-3）（7.1-4）或K:结构刚度矩阵，M:结构质量矩阵。特征系统的基本特性（1）若K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果M正定，并且K为正

2、定或半正定，则所有特征值都是正实数。7.1结构动态特性分析（2）特征向量（或模态向量）关于M和K正交特征向量归一化（7.1-5）（7.1-6）7.1结构动态特性分析（7.1-7）归一化特征向量（7.1-8）（7.1-9）(3)Rayleigh商和特征值的极大极小性质定义：对于任意{x}有第i阶特征值由（7.1-8,9）看出，当｛x｝为系统的某阶特征向量时，有7.1结构动态特性分析（7.1-10）（7.1-11）（7.1-12）（7.1-13）(4)特征值的移轴性质两边减去或两式特征向量相同，但特征值相差μ，即：7.1结构动态特性分析（7.1-15）（7.1-16）（7.1

3、-14）(5)特征值的分隔性质作移轴，并将作三角分解。则对角矩阵D中有i个负元素。如果有7.1结构动态特性分析(6)位移展开定理理解广义特征值问题的性质，对于求解特征值问题很有帮助。对于n维空间中的任意向量｛x｝都可以按模态矩阵Φ展开：系数q可按下式确定：7.1结构动态特性分析（7.1-17）（7.1-18）7.1.2迭代法任意选取适当的初始向量{x1}，按迭代格式向量序列{x1}{x2}将收敛于相应的特征向量。向量迭代法（幂法）：可用于标准特征值问题和广义特征值问题。适合对称矩阵和非对称矩阵。7.1结构动态特性分析（7.1-19）特征方程是齐次代数方程，高于四阶的方程不

4、存在显式解，必须采用迭代方法。分类：向量迭代法、变换法、多项式迭代法、Strum序列法对任意向量则：按（7.1-19）有则：当k增大时，｛xk+1｝可能会变得很大或很小，因此，在迭代过程中，需要将迭代向量规一化7.1结构动态特性分析（7.1-20）（7.1-21）（7.1-22）（7.1-23）（7.1-24）迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能延迟收敛，而不会破坏收敛性。根据特征值的移轴性质可以构造带移轴的向量迭代方法。只要选取合适的移轴量，就可以既使迭代收敛到所需要的特征对，又可以加快收敛速度。7.1结构动态特性分析在广义特征值问题中，M对称正定，则一

5、定存在非奇异矩阵7.1.3变换法1.广义特征值问题化为标准特征值问题可得到标准特征值问题所以前乘S-1，并令则有式中7.1结构动态特性分析（7.1-28）（7.1-29）（7.1-30）2.标准特征值问题的变换法常用变换法:雅可比法（Jacobi）、Givens法、Householder法雅可比法标准特征值问题经过k次变换后7.1结构动态特性分析（7.1-32）方法思路:经过多次旋转正交变换使矩阵对角化对应的正交矩阵（7.1-33）当则当则，符号取决于的符号。当时，矩阵A趋向于对角阵。7.1结构动态特性分析（7.1-34）广义雅可比法：对广义特征值问题中的K和

6、M同时用雅可比法作变换，得到矩阵M、K共同的主轴。Givens法与雅可比法类似，也是进行坐标旋转变换，但它不是把实对称矩阵A对角化，而只是三对角化。Householdes法也是一种将实对称矩阵化为三对角阵的方法。7.1结构动态特性分析7.1.4Sturm序列二分法对于给定的对称三对角矩阵矩阵三对角化后，还需求解三对角矩阵的特征值问题三对角矩阵求特征值比一般矩阵要容易得多常用的方法：QR方法和Sturm序列二分法对于标准特征值问题的三对角矩阵，则常采用Sturm序列的二分法。通常，用Householder法和Lanczos法将标准特征值问题转化为三对角矩阵。7.1结构动

7、态特性分析（7.1-35）特征行列式定义零阶主子式7.1结构动态特性分析（7.1-41）（7.1-42a）以后各阶主子式Sturm序列：p0,p1,p2,…，pn构成的多项式序列（7.1-42b）7.1.5大、中型特征值问题的求解方法1.Rayleigh-Ritz分析实际问题中，最关心的不是全部特征对，而只是其中的一小部分（如最低的前q阶（q<