《3.2立体几何中的向量方法（3）》课件

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1、-----利用向量解决空间的角问题3.2立体几何中的向量方法(三)空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题.1.两条异面直线所成的角(1)定义:设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′，b′所夹的锐角或直角叫a与b所成的角.(2)范围:(3)向量求法:设直线a、b

2、的方向向量为，其夹角为，则有(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角.空间三种角的向量求解方法2.直线与平面所成的角(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围:(3)向量求法:设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则有BDCA3.二面角(1)范围:(2)二面角的向量求法:①若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角

3、(如图(1))②设是二面角的两个面的法向量，则向量与的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))图(1)图(2)例1：所以与所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：所以：练习：在长方体中，例2：在长方体中，练习：的棱长为1.正方体以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴.易求平面AB1C的一个法向量故得B1C1与面AB1C所成得角得余弦为设平面例4：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水

4、坝的交线)的距离AC和BD分别为和，CD的长为，AB的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算ABCD图3于是，得所以设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角.因此回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为例4：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为和，CD的长为，AB的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.思考：(1)本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不

5、变，可以计算出AB的长吗？ABCD图3分析：∴可算出AB的长.(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为.A1B1C1D1ABCD(3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面AB1内过A1

6、作A1E⊥AB于点E，EF在平面AC内作CF⊥AB于F.∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.(化为向量问题)(进行向量运算)(回到图形问题)小结：小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察

7、二面角的范围作业：P111A组146810