高等代数(上)期末试卷(A)

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1、《高等代数》（上）期末试卷（A）一、（30分）完成下列计算1．已知行列式，其中是互不相同的的数，证明是一个次多项式，并求出的最高次项的系数和的根.　2．求解矩阵方程,其中,.3.求多项式在有理数域、实数域和复数域上的标准分解式.二、（10分）已知向量组线性相关，向量组线性无关1．证明：一定可由线性表示；2．可由线性表示吗？说明理由.三、（20分）设1．求向量组的极大线性无关组；2．求向量组的秩；3．令，问为何值时，线性方程组有解？在有解的情形时，求其全部解.6四、（20分）1．用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差.2．取什么值时，二次型为正定的？五、（20分）证明

2、题1．证明：如果，那么2．如果A是矩阵（），为的伴随矩阵，证明：这里表示矩阵的秩.3．如果为n阶方阵，则存在着可逆的矩阵和幂等矩阵使605级高代A卷参考答案一、（24分）完成下列计算1.的最高次项的系数这；根为.2.，，.或作初等变换，3.多项式可能的有理根为：；由综合除法可知，2是多项式的3重根.在有理数域上：在实数域上：在复数域上：二、（16分）1.若不能由线性表示，由线性相关可知，线性相关，与线性无关矛盾.2.不可以，如：线性相关；取，则线性无关，但不可由线性表示.三、（20分）1.作矩阵6,作初等行变换将A化成阶梯形，取为极大线性无关组.2.作初等行变换将化成行简化阶梯形，当时

3、，，即向量组的秩为2；当或时，，即向量组的秩为3。3.线性方程组有解当且仅当，即.通解为：四、（20分）二次型矩阵，对矩阵A作合同变换6，取，则做非退化线性替换，，将二次型化为标准形：，秩为3，符号差为1。2.二次型矩阵，由，可解得：，无解；或从有一个二阶主子式故可知对任意的实数都不可能使为正定的。五、（20分）证明题1证明先证明，再从互素的性质可得。2从得（1）当时，（2）当时，且至少有一个代数余子式不为零，因此，又从可知的所有的列向量都是的解向量，即的所有的列向量都可由的基础解系表出，这表明；6（3）当时，的所有代数余子式为零，即。3设，这里，都是可逆矩阵，这样6