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《空间向量与立体几何 (3)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、空间向量与立体几何一、选择题1．(2013·南昌模拟)在空间中，已知＝(2,4,0)，＝(－1,3,0)，则∠ABC的大小为( )A．45° B．90° C．120° D．135°【解析】 由＝(－2，－4,0)，＝(－1,3,0)得cos〈，〉＝＝＝－，又0°≤〈，〉≤180°，∴∠ABC＝135°.【答案】 D2．(2013·山东高考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )A.B.C.D.【解析】 画出三棱柱ABC—A1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角
2、，解三角形求角．如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，则S＝×()2＝，VABC—A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.又AO＝×＝1，∴tan∠PAO＝＝，∴∠PAO＝.【答案】 B3．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a.点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，D为
3、坐标原点．则P(0,0，a)，B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，又＝，·＝0＋－＝0，所以PB⊥DE.由已知DF⊥PB，又DF∩DE＝D，所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°.【答案】 D4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )A.B.C.D.【解析】 以A为原点建立空间直角坐标系，如图．设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以＝(0,1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则所以所以n1＝(1,2,2)．设平面ABCD的一个法向量为n2
4、＝(0,0,1)，所以
5、cos〈n1，n2〉
6、＝＝.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.【答案】 B5．P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为( )A．60°B．70°C．80°D．90°【解析】 不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F，如图．因为∠EPM＝∠FPN＝45°，所以PE＝a，PF＝b，所以·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0.所以⊥，所以二
7、面角α—AB—β的大小为90°.【答案】 D二、填空题6．已知a＝(2，－1,1)，b＝(－1,4，－2)，c＝(11,5，λ)．若向量a，b，c共面，则λ＝________.【解析】 由向量a，b，c共面可得c＝xa＋yb(x，y∈R)，故有解得【答案】 17．(2013·湛江模拟)已知空间不共面四点O、A、B、C，·＝·＝·＝0，且
8、
9、＝
10、
11、＝
12、
13、，＝，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．【解析】 由题意可知，OA、OB、OC两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0，0,1)，M(，，0)，故＝(－1,1
14、,0)，＝(－1,0,1)，＝(，，0)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则由，得，令x＝1，得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．故cos＝＝，所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，正切值为.【答案】 8．如图4－3－11，正方体ABCD—A1B1C1D1，则下列四个命题：图4－3－11①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线．其中真命题的编
15、号是________(写出所有真命题的编号)．【解析】 因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值，所以VA—D1PC＝VP—ACD1为定值，①正确；P到面ACD1的距离不变，但AP的长在变化，所以AP与面ACD1所成角的大小是变量，②错误；面PAD1即面ABC1D1，所以面ABC1D1与面ACD1所成二面角的大小不变，③正确；M点的轨迹为A1D1，④正确．【答案】 ①③④三、解答题9．
