空间向量与立体几何(3)

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1、兴化市板桥高级中学高二数学备课组期末复习教学案（理）空间向量与立体几何一、知识梳理    1、空间向量及其运算     （1）空间向量的基本知识：          ①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。          ②空间向量基本定理：           ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。           ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那

2、么这个基底叫正交基底。           ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。           ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。        ③共线向量（平行向量）：          ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。  规定：零向量与任意向量共线；              ⅱ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。                ④共

3、面向量：           ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。          ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，则说向量平行于平面α，记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。          ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、6兴化市板桥高级中学高二数学备课组期末复习教学案（理）都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的

4、平面内。          ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。       ⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。⑥两个向量的数量积：        ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。        ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。        ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积（或内积），它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。        ⅳ数量积的几

5、何意义：叫做向量在方向上的投影（其中θ为向量和的夹角）。即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。        ⅴ基本性质：6兴化市板桥高级中学高二数学备课组期末复习教学案（理）。ⅵ运算律：（2）空间向量的线性运算：      ①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：      ②加法：；③减法：      ④数乘向量：      ⑤运算律：       ⅰ加法交换律：，ⅱ加法结合律：       ⅲ数乘分配律：2、空间向量的坐标表示：    （1）空间直角坐标系：        ①空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底

6、，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。        ②右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；     （2）空间向量的坐标表示：         ①已知空间直角坐标系和向量，且设为坐标向量，由空间向量基本定理知存在唯一的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作        ②在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若6兴化

7、市板桥高级中学高二数学备课组期末复习教学案（理），则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。③规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。④一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设，，          则：  （3）空间向量的直角坐标运算： ⑦空间两点间