基本公式、直线的斜率与直线方程

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1、1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2．掌握两点间距离公式．3．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．4．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝.(2)中点公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝.2．直线的倾斜角3.直线的斜率[思考探究]过两点P1(x1

2、，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2时直线的倾斜角和斜率怎样？提示：当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，倾斜角α＝90°，其斜率不存在.4．直线方程的几种形式[思考探究2]直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式各有什么适用范围？提示：点斜式和斜截式适用于不垂直于x轴的直线；两点式和截距式适用于不垂直x、y轴的直线，且截距式还不适用于过原点的直线．1．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为()A.B．－C．3D．－3解析：由于点(1，－1)在直线上，所以a－3m＋2a＝0，∴m＝a，∴直线斜率为－.答案：B2．直线l过点P(－2,

3、3)，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为()A．3x－2y＋12＝0B．3x＋2y＋12＝0C．3x－4y＋20＝0D．3x＋y－3＝0解析：设A(x,0)，B(0，y)．∵P恰为AB的中点，则＝－2，＝3，∴x＝－4，y＝6.即A、B两点的坐标分别为(－4,0)，(0,6)．由截距式得l的方程为＝1，即3x－2y＋12＝0.答案：A3．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵A·C<0，B·C<0，∴A·B>0，即A、B同号．斜率k＝－<0，且－

4、>0，∴直线不通过第三象限．答案：C4．直线－x＋y－6＝0的倾斜角是________，在y轴上的截距是________．解析：直线方程可化为y＝x＋2，∴其斜率k＝，在y轴上的截距为2，由k＝可得其倾斜角α＝30°.答案：30°25．曲线y＝x3＋x＋1在点(1,3)处的切线方程是________．解析：∵点(1,3)在曲线上，y′

5、x＝1＝4，∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.答案：4x－y－1＝0倾斜角和斜率的关系1.斜率k是一个实数，每条直线存在惟一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，当倾斜角α≠90°时，k

6、＝tanα.2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，当α由0增大到(α≠)时，k由0增大到＋∞；当α由(α≠)增大到π(α≠π)时，k由负无穷大趋近于0.解决此类问题时，也可采用数形结合思想，借助图形直观作出判断.3．求斜率的一般方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k＝tanα来求斜率．4．利用斜率证明三点共线的方法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A、B、C三点共线．[特别警示]斜率变化分两段，

7、90°是分界线，遇到斜率问题要谨记，存在与否要讨论．直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.[)∪(]B.[0，]∪[，π)C.[0，]D.[][思路点拨][课堂笔记]由xcosα＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cosα.∵－1≤cosα≤1，∴－≤k≤.设直线的倾斜角为θ，则－≤tanθ≤.结合正切函数在[0，)∪(，π)上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.[答案]B设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A(a，a3)、B(b，b3)、C(c，c3)在同一直线上，求证：a＋b＋c＝0.证明：∵a，b，c互不相等，∴过A、B、C任两点的直线的斜率均存在．又kAB

8、＝＝a2＋ab＋b2，kAC＝＝a2＋ac＋c2.∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，即a2＋ab＋b2＝a2＋ac＋c2，(b－c)(a＋b＋c)＝0.而b≠c，∴a＋b＋c＝0.求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．求直线方程的一般方法有：1．直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程．2．待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．[特别警示]求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0