实数和二次根式的基本概念

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1、实数、二次根式的基本概念知识点睛一．实数的基本概念1．无理数的概念：（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.（2）解读：1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.2）无理数的常见类型：①具有特定意义的数。如π等；②具有特定结构的无限小数，如0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；③开方开不尽的数，如，等.那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？？？3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循

2、环小数也必定是无理数.2．实数的概念及分类：（1）定义：有理数和无理数统称为实数.（2）分类：①按定义分：8/8②按性质分：（3）实数的性质：①相反数：与互为相反数.②绝对值：或或（4）实数和数轴上的点是一一对应的.π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。（6）实数中非负数的

3、四种形式及其性质：形式：①；②；③（）；④中.性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.（7）实数中无理数的常见类型：①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数；②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：等；③看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.0232332333…….8/8（一）根据实数的定义解题：【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数?－0.313131…，π，－，23，，3.14，0.4829，1.

4、020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，.【例2】在实数中无理数的个数是（）A．0B．1C．2D．3【拓展】这7个实数中，无理数的个数是（）A．0B．1C．2D．3【例3】下面有四个命题：①有理数与无理数之和是无理数．②有理数与无理数之积是无理数．③无理数与无理数之和是无理数．④无理数与无理数之积是无理数．请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。【例4】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示，并说明理由.(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　)　　(2)无理数都是无限小数.

5、(　　)　　(3)无限小数都是无理数.(　　)　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　)　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　)　　(6)带根号的数都是无理数.(　　)　　(7)有理数都是有限小数.(　　)　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　)（二）实数的绝对值：【例5】求下列各数的相反数及绝对值：　　(1)　　(2)【例6】已知一个数的绝对值是3，求这个数.【拓展】｜x｜=｜－π｜，求x的值。8/8【例7】若则，，，这四个数有下列关系（）A.B.C.D.【例8】比较下列各组数的大小：(1)和3(

6、2)和二．二次根式的概念1.二次根式的定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式2.二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”。第二，被开方数是正数或0。第三，二次根式（≥0）表示非负数的算术平方根。3.性质(1)=a（a≥0）．(2)（a≥0）（a＜0）(3)=·（a≥0，b≥0）·＝（a≥0，b≥0）(4)=（a≥0，b>0）=（a≥0，b>0）【例1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断。8/8【例2】当x取怎样的实数时①；②；③；④在实数范围内有意义【拓展1】x为何值时，下列各式在实数范围内有意义(1)；(2)

7、；(3)【拓展2】取何值时，下列各式有意义？(1)；(2)；(3)【拓展3】x取何值时，下列格式有意义：(1)；(2)；(3)3.最简二次根式二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(3)分母中不含二次根式。二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？(1)(2)(3)(4)（a＞b）(5)(6)8/8【例2】下列二次根

8、式中，最简二次根式的个数是（　　）．　　　　，，，,，,，．A.1个B.2个C.3个D.4个【例3】在下列二次根式中，最简二次根式有____________________。【练习】下列根式中式最简二次根式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【例4】把下列各式化成最简二次根式。(1)(2)(3)4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后