空间解析几何及多元函数微分学期末复习

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1、1、无穷级数(Ch12)：2、空间解析几何(Ch8)重点考察向量运算点在直线或点在平面上的投影3、多元函数微分学(Ch9)：方向导数和梯度不考；拉格朗日乘子法不考两个变量的抽象函数和隐函数的二阶偏导数不考；方程组情形的隐函数求偏导不考；多元函数的极限不考；不考4、重积分(Ch10)：5、曲线积分与曲面积分(Ch11)：两类曲线积分的关系不考两类曲面积分的关系不考斯托克斯公式不考第八章空间解析几何（一）向量运算：数量积、向量积（二）点在平面上的投影（三）点在直线上的投影数量积定义表达式：坐标表达式：常用公式（3）两向量的夹

2、角公式：（4）一、向量的运算向量积定义表达式：坐标表达式：常用公式方向:且符合右手规则模://＝向量的位置关系:例.设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:答案:例.已知两点和的模与方向余弦.计算向量例.已知向量的夹角且解：解:空间平面方程一般式点法式截距式1.空间平面与直线的方程二、点在平面或点在直线上的投影基本思路：定点、定向空间直线方程一般式对称式参数式点方向向量分析:点在平面上的投影点在直线上的投影分析:解:代入平面方程:点在直线上的投影第九章（一）基本概念（二）多元函数微分法（三）多元函数微分法的应用多元函数微分法及

3、其应用一、基本概念（§1）1.多元函数的定义、极限、连续会求多元函数的定义域判断极限不存在及求极限的方法（换元、夹逼准则）会利用多元函数的连续性求极限二元函数z=f(x,y)在（x0,y0）处连续多元初等函数在定义区域内连续.例定义域求函数的定义域，并求解：2.几个基本概念的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导书P76:5;P129:1沿任意方向l的方向导数存在求偏导数和全微分1.显函数求偏导数：固定其余变量对某个变量求导二、多元函数微分法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代12.复合函数求导的链式法则需注意因变量、中间

4、变量、自变量之间的关系。例.设求解:yx3.隐函数求导公式1、一元隐函数2、二元隐函数注：对“抽象函数”和“隐函数”会求“一阶”偏导数即可。解：设则例.设4.全微分z=f(x,y)例.设则例.设则三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线在切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)3.极值与最值问题极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法(代入法,拉格朗日乘数法)求解最值问题2.方向导数与梯度(公式)1.空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量解：切线方程法平面方程切点

5、：切向量：曲面方程：法线方程1)隐式情况.切平面方程2.空间曲面的切平面与法线曲面方程：切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦例.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令上求一点,使该点处的法线垂直于例.在曲面并写出该法线方程.提示:设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上例.证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒时,具有极值1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值

6、.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.5.极值和条件极值(1)极值的求法第一步：求驻点第二步：判定（对每一个驻点，求）注意驻点可导函数的极值点解设则令1）2）3）