高量3-本征矢量和本征值

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1、§3本征矢量和本征值§3.1定义一、本征矢量和本征值对于算符A，若有非零矢量满足下式式中a为常数。则称为算符A的本征矢量，而a为相应的本征值。上式称为本征值方程。本征值一般是复数，但也可以为0.算符A虽然可以不加限制，但是量子力学中用到的主要是厄米算符的本征值问题。1二、厄米算符本征值问题的两个重要性质1.在复空间中，厄米算符的本征值都是实数[证]若A是厄米算符，用左乘式两边，有已经知道是实数所以a必为实数。2.厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交[证]设但2则又由此得即但所以即厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交。3若是A的一个本征矢

2、量，则也是属于同一个本征值的本征矢量；若都是A的本征矢量且本征值相同，则它们的线性叠加也是A的属于同一本征值的本征矢量。三、本征矢量问题—简并性厄米算符A属于本征值a的本征矢量有多少个？这实际上是一个简并度的问题。1.问题的提出4所以算符A的属于同一个本征值a的本征矢量全体构成Hilbert空间中的一个子空间。这个子空间称为算符A的属于本征值a的本征子空间。2.简并本征子空间的维数s称为所属本征值的简并度。这个本征值或这组本征矢量称为是s重简并的。当简并度为1时，通常称为无简并。为了指出s维本征子空间，只需给出其中一组s个线性无关的本征矢量即可

3、。5则A,B有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度。3.相关的定理定理：若A,B两算符相似，即对于有逆算符R，有[证]设已知A的全部本征值和相应的本征矢量，利用，用R从左作用上式两边，得即6下面设A的一个本征值是s重简并的，属于这个本征值的s个线性无关本征矢量记为。由于R有逆，也必为线性无关。所以算符B的属于本征值的本征矢量至少为s个，即简并度不会比A小。另外利用用同样的方法证明B的简并度也不会比A大。证毕。因为R有逆，所以不为零所以所有也都是B的本征值。7用反证法：如果线性相关，则存在，从而有比如由此可以得到因为R有逆，上式两边用作用

4、后有这与线性无关相矛盾。命题得证。8§3.2本征矢量的完全性一.问题的提出在一个确定的Hilbert空间中，一个厄米算符A的本征矢量的情况有两种：1）不简并的本征矢量是彼此正交的；2）s重简并的本征值所对应的本征矢量构成一个s维的本征子空间，并与那些本征值为其它值的本征矢量正交。如在上述s维子空间中选出s个互相正交的本征矢作为代表，那么其线性叠加都是算符A的对应于同一本征值的本征矢量。9在进行归一化后,算符A的所有不简并和简并的本征矢量为代表就构成了一个正交归一矢量集。若取不简并的本征值的简并度为1,则这个正交归一矢量集里矢量总数是所有本征值简

5、并度之和。这个总数亦可能是无穷大。问题：一个厄米算符A的本征矢量正交归一集在所在空间中是否完全？二、完全性和封闭性一个确定的空间中，一组正交归一矢量集的完全性的含义是：空间内所有矢量都能表为这个矢量集的线性叠加。10一组正交归一矢量集的封闭性的含义是，这个空间中不存在其它与集内所有矢量都正交的矢量（否则此矢量集应再加一矢量）。二者的等价性是明显的。对于一般的Hilbert空间，二者是等价的。对有限维空间予以证明：定理：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量构成正交完全集。[证]：设空间是n维的，厄米算符为A。我们只需证明在A的本征矢量中有n个线

6、性无关的即可。11A的本征值方程为这组基矢共有n个。为求，在此空间中取一组已知的基矢将矢量按照这组基矢展开其中。知道了一组就知道了一个。将的展开式代入本征值方程，并用与方程两边作内积，得12上式是关于未知数线性齐次方程组，可以写成式中是复数，对于给定的A，它们是已知的，而是待求的。会展开(j=1)(j=2)…式中a是待定的本征值。这一方程有非零解的条件是系数行列式为0：13这是一关于a的n次方程，称为久期方程，有n个根当这些根互不相同时，对于每一个根，上述方程有一组非零解；所求得的那些根，就是厄米算符A的本征值。当每个都不同时，可得线性方程组的

7、n组解从而得到相应的n个本征矢量。14前面已经证明过，当本征值不同时，厄米算符的本征矢量互相正交。因此证明了A的这组本征矢量肯定可构成此空间的一组正交完全集。总之，在n维空间中，不论厄米算符A的本征值有无简并，总有n个线性无关的本征矢量存在，总可以构成空间的一组正交完全集。当系数行列式有等根时，如是一个三重根，那么对于这个a值，不仅系数行列式本身为0，它的n-1,n-2阶的全部子行列式也都为0；对于这样的a，齐次方程也有3个线性无关的。于是对于这个三重简并的本征值，空间中有3个线性无关的本征矢量存在，即有一个三维的本征子空间存在.15当A的本征

8、值没有简并时,这组是完全确定的。而当有简并时，就有许多组这样的正交归一完全集存在，因为在本征子空间中，选取n个互相正交的矢量作为代表(不要求归一)，其