高等量子力学-第三章-本征矢量和本征值ppt课件.ppt

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1、§3本征矢量和本征值§3-1定义§3-2本征矢量的完全性§3-3厄米算符完备组§3-4无穷维空间的情况厄米算符的本征值问题有两个重要的性质：（1）厄米算符的本征值都是实数。§3-1定义（3.1）本征值一般是复数，也可以是零。（2）厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量相互正交。设那么又有,二式相减，得下面讨论属于同一个本征值a，厄米算符A有多少个本征矢量的问题。本征子空间的维数s，称为所属本征值的简并度。这个本征值或这组本征矢量称为是s重简并的；而简并度为1的情况，通常称为无简并的。为了指出s维本征子空间，只需给出其中一组s个线性无关的本征矢量即可。有时人们说某个本征值只有

2、一个本征矢量或有s个本征矢量，实际都是指一个或s个线性无关的本征矢量。定理：若A和B两算符相似，即对于有逆算符R有则A和B有相同的本征值谱，而且每一本征值都有相同的简并度。设已知A的全部本征值和相应本征矢量；即证明：§3-2本征矢量的完全性希尔伯特空间中的厄米算符的全部线性无关的本征矢量，构成这个空间中的正交归一完全集，亦即构成这个空间的一组基矢。下面我们对有限维空间的情况给出一个证明。定理在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量构成正交完全集。A的本征值方程为可以用它们作为这个空间的一组基矢。对于无穷维希伯特空间，厄米算符具有离散本征值的情况，虽然没有经过数学上的一一证明

3、，在物理上总是认为，厄米算符的全部线性无关的本征矢量，可以构成此空间的完全集,进行正交化后，完全性关系成立，写成通常的下标形式，有：在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，甚至用厄米算符本征矢量去“构造”一个希尔伯特空间，其原因就在这里。厄米算符A，本征值不论有无简并，本征矢量的集合构成此空间的一组正交归一完全集,在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，甚至用厄米算符本征矢量去“构造”一个希尔伯特空间，其原因就在这里。§3-2本征矢量的完全性§3-3厄米算符完备组对于一个希尔伯特空间，每一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量，都可以用来构成空间的基矢，即

4、正交归一化完全集，这使我们能够得到一些有物理意义的基矢，给量子力学的讨论带来方便。但是，当这个厄米算符的本征值有简并时，对应于这一本征值的本征矢量的数目与简并度相同，这时，由本征矢量所确定的基矢不是唯一的，在简并的子空间中可以有多种选择，这一小节的任务就是要消除这一不确定性，我们可以通过再取一个厄米算符去把本征子空间中的基矢确定下来。首先给出一个定理。定理当且仅当两个厄米算符互相对易时，它们有一组共同的本征矢量完全集。于是同样下面分两种情况：上述矢量成为B的本征矢量的条件是当b没有等根时，所得的共同本征矢量完全集就是完全确定的。共同本征矢量的完全性关系简写成§3-4无穷维

5、空间的情况以上我们对有限维空间作了较完整的讨论，但是在量子力学中更多见到的是无穷维的矢量空间。这种空间中厄米算符大体上有两种，一种是离散的本征值谱，其本征值（以及相应的本征矢量）是可数的无穷多个；另一种具有连续的本征值谱，具有不可数无穷多个本征值和相应的本征矢量。归一化：（1）离散谱的情况本征方程：正交归一化关系：完全性关系：（3.2）归一化：（2）连续谱的情况本征方程：正交归一化关系：完全性关系：（3.4）（3.3）（3.6）（3.5）（3）有离散谱又有连续谱的情况正交归一化关系：完全性关系：