华科信号与线性系统第4讲

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1、信号与线性系统第4讲教材位置:第3章连续信号的正交分解§3.1-§3.3内容概要:正交函数集与信号分解；傅里叶函数集与信号的傅里叶级数表示开讲前言－前讲回顾连续线性时不变系统的时域求解响应的分解零输入响应＋零状态响应零输入响应对应齐次方程通解－算子运算零状态响应通过信号分解求得激励函数表示为冲激函数的积分冲激响应的特解有标准的形式零状态响应通过激励函数与冲激响应卷积积分求得时间域求解复杂，仅仅反应系统时域特征变换域求解简化求解难度拓展系统分析的非时域范畴7/15/20212信号与线性系统－第4讲开讲前言-本讲导入（§3.1引言）线性系统中对信号的分解有利于系统分析分解激励

2、与初始条件对应零状态与零输入的响应分解激励为冲激函数的积分得到通行的零状态解法还有怎样的分解方式能带给我们分析系统的方便?简化计算引入更多的物理意义，便于对分析结果的物理解释数学上关于信号分解的描述矢量的分解：多维空间的位置，可以通过各个坐标值定位能够构成坐标空间的矢量要满足什么条件？函数是不是也可以分解到一个所谓的函数空间？具有分解价值的函数集如果能有建立函数空间的函数集，具有很好的物理解释的函数集是什么？这些促成我们需要来研究学习关于信号的正交分解7/15/20213信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解1、矢量的分量矢量的分量：在另外一个矢量方向的投影投

3、影角度不同、与原矢量的差Ve不同垂直投影是误差最小的投影，所以分量一般用垂直投影表示C12表示两个矢量的接近程度，C12＝1，两矢量夹角为0，两者重合（一致）C12＝0，两矢量夹角为900，两者垂直（正交）7/15/20214信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解2、正交矢量空间空间可以由正交矢量来定义空间内的矢量可以通过分解到正交矢量方向的分量表示要能对空间内任一矢量唯一分解，需要正交矢量集具有完备性正交矢量集的数学定义集内不同矢量的点积为0归一化正交矢量集矢量的模等于17/15/20215信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解3、函数分量与函数

4、正交类比矢量的分析方法函数的分量表示不同C12取值，分量与原函数的误差不同使得误差最小的C12的计算C12＝0，相互之间不包括对方分量，两个函数正交。C12的分子等于0就是两个函数正交的条件。7/15/20216信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解－举例例：试用sint在区间（0，2π）来近似f(t)1t0-17/15/20217信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解－举例解：所以：7/15/20218信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解4、正交函数集n个函数g1(t),g2(t),…gn(t)构成一函数集，如在区间(t1,t2)内

5、满足正交特性，则此函数集称为正交函数集，任意函数可由n个正交函数的线性组合近似，要使近似结果误差最小，可证明各个分量系数应满足7/15/20219信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解在最小误差时候的误差能量为其中：归一化的正交函数应该满足积分归一化后,分解系数和误差能量表示为7/15/202110信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解5、复变函数的正交特性类比实变函数情况，只是乘积运算变成共轭函数的乘积分量的表示系数的表示正交条件的表示7/15/202111信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解6、完备正交信号集在一正交函数集{gi(

6、t)}之外，再也找不到一个X(t)可以与集中任何一个函数正交，那么这组函数集就是完备的。数学定义为：7/15/202112信号与线性系统－第4讲§3.2正交函数集与信号分解7、熟悉的正交函数集三角函数的正交性三角函数、复指数函数是完备的正交函数集7/15/202113信号与线性系统－第4讲§3.3信号表示为傅里叶级数1、信号表示为三角傅里叶级数角频率满足一定规律的三角函数集，是正交函数集正弦信号作用于电路是我们熟悉的电路系统分析内容计算有规律、结果分析有现实意义，是我们变换域做法的宗旨根据三角傅里叶级数的形式，可以将周期信号在周期T内表示如下：直流分量基波分量n=1谐波分

7、量n>1谐波分量n>1基波分量n=17/15/202114信号与线性系统－第4讲§3.3信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数的系数直流分量系数直流分量与a0的关系余弦分量系数正弦分量系数N取值范围为0到∞的正整数7/15/202115信号与线性系统－第4讲§3.3信号表示为傅里叶级数函数可分解为傅里叶级数的条件（狄利克雷条件）在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即一般周期信号都满足这些条件.7/15/202116信号与线性系统－第4讲§3.3信号表示为傅里叶级数三角傅里叶级数的振