函数的最大小值与导数

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1、1.3.3函数的最大（小）值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数8/26/20212二、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0

2、称为极值点8/26/20213(1)求导函数f`(x)；(2)求解方程f`(x)=0；(3)检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。三、用导数法求解函数极值的步骤：8/26/20214在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最

3、大或最小。8/26/20215教学目的：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．8/26/20216知识回顾一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：1．最大值（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值8/26/202172．最小值一般地，设函数y=f(x)

4、的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值8/26/20218阅读课本判断下列命题的真假：1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个；2、最大值一定是极大值；3、最大值一定大于极小值；xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)讲授新课8/26/20219观察下列函数，作图观察函数最值情况：（1）f（x）=

5、x

6、（-2

7、（a，b）上是连续不断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此（2）函数f（x）若在闭区间[a，b]上有定义，但有间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值总结：一般地，如果在区间[a，b]上函数f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如何求最值？只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可求最大值、最小值8/26/202111例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x-1（-1,2）2（2，4）40-+8

8、3-1故函数f(x)在区间[-1，4]内的最大值为8，最小值为-1例题讲解8/26/202112一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)8/26/2021131、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理练习8/26/2021141、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最值故函数f(x)在区间[1，

9、5]内的最大值为11，最小值为2法二、解、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1,2）2（2,5）5y，0y-+31128/26/2021152、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为()A.-4B.0C.16D.20C练习8/26/20215:06PM163.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于（）A.B.C.D.或8/26/2021174.已知函