资源描述：
《函数的平均变化率(VI)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.求函数的平均变化率通常分两步(1)作差，先求出Δy=f(x2)-f(x1)和Δx=x2-x1;(2)作商，对所求的差作商得求平均变化率2.求函数平均变化率的注意点(1)求函数平均变化率时注意Δx、Δy两者都可正、可负，但Δx的值不能为零，Δy的值可以为零.若函数y=f(x)为常数函数，则Δy=0.(2)求点x0附近的平均变化率，可用的形式.注意公式中分子与分母形式上的对应关系，以防代入数值时出错.【例1】已知函数f(x)=3x+1，计算f(x)在-3到-1之间和在1到1+Δx之间的平均变化率.【审题指导】由题目条件可求得自变量的改变量Δx与函数值的改变量Δy.根据平均
2、变化率的定义，代入公式计算即可.【规范解答】∵Δx=-1-(-3)=2,Δy=f(-1)-f(-3)=［3×(-1)+1］-［3×(-3)+1］=6,∴即f(x)在-3到-1之间的平均变化率为3.∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=［3×(1+Δx)+1］-(3×1+1)=3·Δx,∴即f(x)在1到1+Δx之间的平均变化率为3.【变式训练】求y=f(x)=2x2+1在x0到x0+Δx之间的平均变化率，并求当x0=1,时平均变化率的值.【解题提示】解答本题要紧扣平均变化率的定义式，先求自变量的改变量和函数值的改变量，然后代入公式求解.【解析】函数f(x)=2x2+1在x0到
3、x0+Δx之间的平均变化率为:当x0=1,时，平均变化率为(1)函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度.(2)函数在某点附近平均变化率的绝对值越大，说明函数在此点附近的图象越“陡峭”.平均变化率的比较平均变化率的几何意义【例2】已知函数f(x)=3-x2,计算当x0=1,2,3,时,平均变化率的值,并比较函数f(x)=3-x2在哪一点附近的平均变化率最大?【审题指导】先求f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率,再求各点附近的平均变化率，最后比较得结论.【规范解答】函数f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为当x0=1,时，平均变化率
4、的值为当x0=2,时，平均变化率的值为当x0=3，时，平均变化率的值为∵∴函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.【变式训练】求函数f(x)=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并计算当x0=1,时平均变化率的值.【解题提示】先求平均变化率，再求x0=1,时的平均变化率.【解析】当自变量从x0变化到x0+Δx时，函数的平均变化率为=3x02+3x0·Δx+(Δx)2.当x0=1,时,平均变化率的值为(1)平均变化率的物理意义即平均速度.(2)求平均速度首先要明确自变量与函数值的实际意义，弄清函数单调性.利用定义求平均变化率.(3)此类问题体现了学科间知识
5、的横向联系，是平均变化率的实际应用.平均变化率的应用平均变化率的几点说明：【例3】已知一物体的运动方程为s(t)=t2+2t+3,求物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度.【审题指导】【规范解答】物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的位移增量Δs=s(1+Δt)-s(1)=［(1+Δt)2+2(1+Δt)+3］-(12+2×1+3)=(Δt)2+4Δt.物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为【变式训练】一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1，该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，求Δt的取值范围.【解析】质点在2到
6、2+Δt之间的平均速度为又即4+Δt≤5,∴Δt≤1.又Δt>0,∴Δt的取值范围为(0，1］.【例】物体的运动方程是(s的单位：米；t的单位：秒)，求物体在t=1秒到t=(1+Δt)秒这段时间内的平均速度.【审题指导】求物体在一段时间内的平均速度就是求位移对时间的平均变化率.本题已知函数表达式，代入公式化简即可.【规范解答】∵∴物体在t=1秒到t=(1+Δt)秒这段时间内的平均速度是【变式备选】已知自由落体运动的方程为(g为常数)，求落体在t=10s到t=10.1s这段时间内的平均速度.【解析】【典例】(12分)已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的
7、函数关系是(1)求半径r关于体积V的函数r(V);(2)比较体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？【审题指导】解答本题可先由球的体积公式变形得到函数r(V)的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算.【规范解答】(1)∵∴………………………………………………3分(2)函数r(V)在区间［0，1］上的平均变化率为……………………6分函数r(V)在区间［1,2］上的平均变化率为…………………9分显然体积V从0L增加到1L时，半径变化快，这说明随着气球体积的
