函数的和、差、积、商的导数(II)

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1、函数的和、差、积、商的导数一、复习：1.求函数的导数的方法是:2.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.3.常见函数的导数公式:公式1:.公式2:.公式3:.公式4:.二、新课：由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x,那么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.1.和(差)的导数:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:证:即:2.积的导数:法则2:两个函数的积的导

2、数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即证:因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).从而:即:3.商的导数:推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即:法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即:思考:你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数公式吗?有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导

3、数定义出发了.三、例题选讲：例1:求下列函数的导数:答案:例2:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)=f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)即不充分也不必要条件A(2)下列函数在点x=0处没有切线的是()(A)y=x3+sinx(B)y=x2-cosx(C)y=xsinx(D)y=+cosxD(3)若则f(x)可能是下式中的()B(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的切线的倾斜角的取值范围是()D例

4、3:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=-4t3+16t2.(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.例4:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2

5、相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.注:此题为p.238第12题.例5:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线关于此点对称.解:由于,故当x=2时,有

6、最小值.而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点为A(2,-12).记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6.又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S.将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30=-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S.这就证明了曲线S关于点A中心对称.练习1:已知曲线C:y=3x4-2

7、x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标.解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).,所以切线的斜率k=12-6-18=-12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心.练习2:设三次曲线y=x

8、3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行于l1的另一条切线为l2.(1)求l1、l2的方程;(2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线l3、l4的方程.(3)求l1、l2、l3、l4所围成的平行四边形的面积.答案:(1).l1:y=-3