函数的凹凸与图形的描绘(I)

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1、第四节导数的应用(二)一、函数的极值定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定理1(必要条件)定义注意:例如,定理2(第一判别法)(是极值点情形)用定理2求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值图形如下定理2-1(第二判别法)例2解图形如下注意:例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.归纳：求极值的步骤1.求出一阶导数等于零的点(驻点)及不可导点,由第一判别法进行判断;2.求二阶导函数,由第二判别法进行判断注意:极值是函数局部性形态特征,极大值不一定比极小值大,极小

2、值也不一定比极大值小求最值的步骤1.求出驻点和不可导点(有的话);2.比较端点、驻点、不可导点的函数值，哪个大为最大值，哪个小为最小值。注意:区间内只有一个极值时,这个值就是最值；三、曲线凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义1、曲线凹凸的判定定理1例1解注意到,四、曲线的拐点及其求法1、定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2、拐点的求法证方法:例2解凹的凸的凹的拐点拐点注意:求拐点的步骤五、函数曲线的渐近线定义:1.垂直渐近线例如有铅直渐近线两条:2

3、.水平渐近线例如有水平渐近线两条:注意:例1解六、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步例1解无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:作图举例拐点极大值极小值例2解非奇非偶函数,且无对称性.列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点作图例3解偶函数,图形关于y轴对称.拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综

4、合考察.最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减作业(P59习题二)3031（1）（5）（8）