函数、极限、连续(I)

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1、第二节极限与连续一、数列极限的定义与性质二、函数的极限三、函数的连续性一、数列极限的定义与性质如果按照某一法则，对每一个正整数，对应着一个确定的实数xn，xn按下标由小到大排列得一序列就叫做无穷数列，简称数列，记做{xn}.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项（通项）.数列极限的概念如果数列{xn}，当n无限增大时，数列{xn}的取值无限接近常数a，就称a是{xn}当n→∞时的极限，记作如果数列没有极限，称数列是发散的1.收敛数列{xn}的极限是唯一的2.收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛。

2、3.无界数列必定发散4.收敛数列的极限有的可以达到，有的不能达到。例如，常数列可以达到它的极限。收敛数列的性质二、函数的极限1）自变量趋于无穷大时函数的极限2）自变量趋于有限值时函数的极限3）左、右极限函数极限的性质函数极限的运算1）无穷小、无穷大无穷小的定义无穷小与函数极限的关系无穷小的运算性质性质1有限个无穷小的和也是无穷小．性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小．推论1常数与无穷小的乘积是无穷小．推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小．无穷大无穷小的比较2）极限的四则运算法则3）两个准则4）两个重要极限连续函数的概念1

3、）增量的概念三、函数的连续性2）连续的定义3）左连续、右连续的定义函数的间断点1.可去间断点例2.跳跃间断点例解解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例解例解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.连续函数的运算初等函数的连续性定义:例如,闭区间连续函数性质(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.(有界性定理

4、)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证几何解释:MBCAmab证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例11证由零点定理,