几何向量及线性运算31-323向量积

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1、几何向量第三章哈工大数学系代数与几何教研室王宝玲1本章内容提要几何向量的线性运算空间中的平面与直线数量积、向量积、混合积几何向量的坐标，用坐标表示几何向量的运算.2向量代数历史数学历史数学萌芽(公元前600年以前)初等数学(公元前600年到17世纪中叶)变量数学(17世纪中叶到19世纪20年代)数学发展的第三个时期,是变量数学时期.它以笛卡尔解析几何的建立为起点.3笛卡尔(Descartes,1596年3月31日生于法国)解析几何是利用代数方法来研究几何图形性质的一门学科.平面解析几何空间解析几何主要是笛卡尔和费尔马(Fermat)共同创立.通过在空间中建立坐标系,将点用坐标表出,然

2、后图形的几何性质可以用坐标之间的关系,特别是代数关系来表示.解析几何为微积分的出现创造了条件.4“向量代数”的应用:作为研究（空间）解析几何的工具；研究数学中其它一些分支、力学及其它学科的工具；向量代数引言3.1向量及其线性运算3.1向量及其线性运算5定义有大小又有方向的量称为(几何)向量，记为：,,,….模:(长度、大小)AB几何表示:用有向线段代数表示:用坐标(x,y,z)a=b把起点平移在一起,则完全重合.方向相同,大小相等.3.1.1向量的基本概念自由向量:与起点无关的向量.6几种特殊的向量单位向量:负向量:a的负向量与a大小相等方向相反,记为-a.零向量:,记为0.零向

3、量的方向任意或不确定.两向量共线:a∥b同向或反向的向量.两向量共面:平行与同一平面的向量.任意两向量都共面.7一、向量的加法分析一下物理中的两种有方向的量:力的合成,可以引入向量加法的概念.加法：baa+baba+b2.三角形法则1.平行四边形法则首尾相连,a起点指向b终点c=a+b3.1.2向量的线性运算8abcdee=a+b+c+d3.多边形法则：n个向量之和,只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量,即为和向量.如94.向量加法运算的性质(1)交换律:a+b=b+a(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(3)零向量:a+0=0+a=a(4)反向

4、量:a+(-a)=(-a)+a=05.向量的减法:a-b=a+(-b)b两起点置一处,b终点指向a终点aa-b10(1)1a=a,(-1)a=-a(2)k(la)=(kl)a(3)(k+l)a=ka+la(4)k(a+b)=ka+kb2.数乘运算的性质:1.数乘:ka∥a长度方向同向反向不定规定:若a=0，k，ka=0若k=0，a，ka=0二.向量的数乘113.单位向量:a≠0,a0=a

5、a

6、,为与a同向的单位向量.a=aa04.平行:（共线）与都没有意义.注（1）（2）a

7、两个向量a,b共线存在不全为零的数（平行）k,l使ka+lb=0.证a,b共线a=kb或b=ka,ka+lb=0,k,l不全为零存在k使得ka+lb=0.136.三个向量a1,a2,a3共面是存在不全为零的数k1,k2,k3使证明思路必要性:分两种情况其中有平行向量其中两两不平行a2a3a1充分性:不仿设k1不为零,则有a1=(-k2/k1)a2+(-k3/k1)a314例1平行四边形ABCD(如图),试用a、b表示.和解因为平行四边形的对角线互相平分所以abMABCD153.2向量的数量积,向量积和混合积前面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将

8、向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算进行定量的描述.3.2.1向量在轴上的投影16注：零向量与任一向量的夹角可以在0到间任意取值.向量与轴及轴与轴的夹角都是正向间不超过的夹角.ab2.点在u轴上的投影：若A为空间中一点,u为一轴，过A点作垂直于u轴的平面，则与轴的交点为A在轴上的投影.1.向量的夹角：17AB设有向量,则轴上的有向线段的值为（数量同向为正数，向为负数）,称为向量在轴上的投影，记作与ABuA’B’投影轴u1u2BA3.向量在u轴上投影:18uA’B’u1u2ABCC’u3abA’B’投影轴u1u2B’'BAu4.公式:19向量的

9、线性运算可以用来解决一些几何问题.要利用向量解决更复杂的几何问题,需要引入向量的其它运算,这其中最重要的就是数量积和向量积.向量的加法是从物理中力的合力抽象出来的.向量的数量积也可以从物理中力作功的计算公式抽象出来.3.2.2几何向量的数量积（数）20物理背景：一物体在常力的作用下，沿直线运动产生的位移为时，则力所做的功是:FS抽去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算.21一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影.