几何向量及线性运算31-323向量积(I)

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1、1几何向量第三章哈工大数学系代数与几何教研室王宝玲2本章内容提要几何向量的线性运算空间中的平面与直线数量积、向量积、混合积几何向量的坐标，用坐标表示几何向量的运算.3“向量代数”的应用:作为研究（空间）解析几何的工具；研究数学中其它一些分支、力学及其它学科的工具.向量代数引言3.1向量及其线性运算4定义有大小又有方向的量称为(几何)向量，记为：,,,….模:(长度、大小)AB几何表示:用有向线段a=b把起点平移在一起,则完全重合.方向相同,大小相等.3.1.1向量的基本概念自由向量:与起点无关的向量.5几种特殊

2、的向量单位向量:负向量:a的负向量与a大小相等方向相反,记为-a.零向量:,记为0,方向任意.两向量共线:a∥b同向或反向.两向量共面:平行与同一平面的向量.任意两向量都共面.6一、向量的加法分析一下物理中的两种有方向的量:力的合成,可以引入向量加法的概念.加法：baa+baba+b2.三角形法则1.平行四边形法则首尾相连,a起点指向b终点c=a+b3.1.2向量的线性运算7abcdee=a+b+c+d3.多边形法则：n个向量之和,只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量,即为和向量.如84.

3、向量加法运算的性质(1)交换律:a+b=b+a(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(3)零向量:a+0=0+a=a(4)反向量:a+(-a)=(-a)+a=05.向量的减法:a-b=a+(-b)b两起点置一处,b终点指向a终点aa-b9(1)1a=a,(-1)a=-a(2)k(la)=(kl)a(3)(k+l)a=ka+la(4)k(a+b)=ka+kb2.数乘运算的性质:1.数乘:ka∥a长度方向同向反向不定规定:若a=0，k，ka=0若k=0，a，ka=0二.向量的数乘103.单位向量:a≠0,a0=a

4、a

5、

6、,为与a同向的单位向量.a=aa04.平行:（共线）与都没有意义.注（1）（2）a

7、(-k2/k1)a2+(-k3/k1)a313例1平行四边形ABCD(如图),试用a、b表示.和解因为平行四边形的对角线互相平分所以abMABCD143.2向量的数量积,向量积和混合积前面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算进行定量的描述.3.2.1向量在轴上的投影15注：零向量与任一向量的夹角可以在0到间任意取值.向量与轴及轴与轴的夹角都是正向间不超过的夹角.2.点在u轴上的投影：若A为空间中一点,u为

8、一轴，过A点作垂直于u轴的平面，则与轴的交点为A在轴上的投影.1.向量的夹角：ab16AB设有向量,则轴上的有向线段的值为（数量同向为正数，向为负数）,称为向量在轴上的投影，记作与ABuA’B’投影轴u1u2BA3.向量在u轴上投影:17uA’B’u1u2ABCC’u3abA’B’投影轴u1u2B’'BAu4.公式:18向量的加法是从物理中力的合力抽象出来的.向量的数量积也可以从物理中力作功的计算公式抽象出来.3.2.2几何向量的数量积（数）19物理背景：一物体在常力的作用下，沿直线运动产生的位移为时，则力所做的功是:FS抽

9、去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算.20一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影.数量积又称为点积、内积.ab1.定义（数量积):21（1）交换律：（2）分配律：（3）结合律：注（1）,中未必有0向量,也可.（2）无意义.（3）数量积不满足消去律即abc2.性质:（4）a(b-c)b-c3.几何应用：（1）求模长：（2）求夹角：（4）求投影：

10、a

11、=√a·aabab=023解由上式消去得由上式消去得例1设求.且24用向量证明余弦定理.例2证即中bca253.2.3几何向量的向量积1.定义:a,b的

12、向量积ab是一个向量,向量积也称为叉积或外积.2.几何意义：都非零且不共线,则以为邻边的平行四边形的面积.abab模:且a,b,ab成右手系,方向：ba26（1）（2）（3）反交换律：（4）结合律:（5）分配律:规定3.性质:27(1)求平行四边形面积：(2)求夹角：abh(3)求