2014年全国初中数学联赛决赛（初二）试题及其解答

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1、2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）2xxy3y1．若x0，y0，且x(xy)3y(x5y)，则代数式的值为xxyy（）A.1B.2C.3D.4【答】B.已知等式可化为x2xy15y0，即(x3y)(x5y)0，所以x25y，于是22xxy3y50y25y3y58y2.xxyy25y25y2y29y2．已知△ABC中，ABAC2，点D在BC边的延长线上，AD4，则BDCD＝（）A．16B．15C．13D．1

2、2【答】D.作AHBC于点H，则H为BC的中点，所以22BDCD(BHDHDH)(CH)(DHCHDH)(CH)DHCH2222ADAC4212.11112113．已知xy,为整数，且满足()()()，则xy的可能的值有（）2244xyxy3xyA.1个B.2个C.3个D.4个【答】C.2244xyxy2xy由已知等式得，显然xy,均不为0，所以xy＝0或3xy2(xy).2244xyxy3xyx1，x2，若3xy2(xy)，则(3x2)(3y2)

3、4.又xy,为整数，可求得或所以y2,y1.xy1或xy1.因此，xy的可能的值有3个.4．用1g、3g、6g、30g的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为（）A．21B．20C．31D．30【答】C.2014年全国初中数学联合竞赛初二年级试题参考答案第1页（共4页）可以称出的重物的克数可以为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36

4、、37、38、39、40，共31种.15．已知实数xyz,,满足x1y2z(xyz)，则xyz的值为（）2A．6B．4C．3D．不确定【答】A.1222由x1y2z(xyz)可得(x11)(y21)(z1)0，所以2x2,y3,z1，xyz6.6．已知△ABC的三边长分别为2，3，4，M为三角形内一点，过点M作三边的平行线，交各边于D、E、F、G、P、Q（如图），如果DEFGPQx，则x＝（）18202224A．B．C．D．13131313【答】D.AQF设BCaAC,

5、bAB,c，MEmMF,nMP,k.DEDEAEPQCQM由平行线的性质可得，，即BCACABACBPGCxb(xn)xbn11n，，所以（x)1，abcbabbxn11122241，两式相加，得（x)2，所以x.cbabc11111113abc234二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如果关于x的方程

6、x3

7、

8、x2

9、

10、x1

11、a恰好只有一个解，则实数a＝．【答】1.4x,x1,63,x1x2,fx()

12、x3

13、

14、x2

15、

16、x1

17、

18、2x,2x3,x4,x3,结合函数的图象知：当且仅当a1时，关于x的方程

19、x3

20、

21、x2

22、

23、x1

24、a恰好只有一个解.9n82．使得不等式对唯一的整数k成立的最大正整数n为．17nk15【答】144.7k8k17k182k1k1871由条件得，由k的唯一性，得且，所以，8n9n8n9nnn9872所以n144.7k8当n144时，由可得126k128，k可取唯一整数值127.8n9故满足条件的正整数n的最大值为144.2014年全国初中数学联合竞赛初二年

25、级试题参考答案第2页（共4页）3．已知P为等腰△ABC内一点，ABBC，BPC108，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC．【答】48.由题意可得PEAPEBCEDAED，B而PEAPEBAED180，所以PEAPEBCEDAED60，从而可得PCA30.又BPC108，所以PBE12，从而ABD24.所以BAD902466，PE11PAE(BADCAE)

26、(6630)18，22CA所以PACPAECAE183048.D4324．已知n为正整数，且n2n6n12n25为完全平方数，则n＝．【答】8.易知n1，n2均不符合题意，所以n3，此时一定有22432432(n