试验误差与数据处理

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1、第2章误差的性质与处理主要内容：2.1随机误差2.2系统误差2.3粗大误差2.4直接测量的数据处理步骤§2.1随机误差随机误差产生的原因随机误差是由众多的，变化微小的因素所造成的。例如，压力、温度、磁场、仪器装置及测量人员等因素的影响。随机误差的特性1、随机性。2、随机误差产生在测量过程中。3、随机误差服从统计规律，增加测量次数可减小随机误差对测量结果的影响。随机误差处理的基本原则随机误差处理的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可用随机变量的数学期望、方差和置信概率等特征量来表示。§2.1.1随机误差的分布实验测量的目的是通过实验数据的分析以及借助于数

2、学工具对数据进行整理，从而获得研究过程的数学模型或者求得某一被测量的真值。一切由不确定的随机因素所造成的随机误差，它的大小及正负，在其出现之前是不可预估的。随着测量次数的增加，各数据随机误差的大小及正负符合统计规律。实验数据处理的任务就是要在测量的随机数据中寻找有关的规律。通过大量的实验研究发现，尽管随机误差的分布规律多种多样，但多数服从或近似服从正态分布。一、正态分布（Normaldistribution）1、正态分布的特性正态分布又称高斯分布，因为德国数学家高斯（Gauss）在研究误差理论时，较早地引入了这种分布。根据概率论的中心极限定理，几种非正态

3、误差共同作用的结果也将使总误差趋向正态分布。假定在某一相同条件下的测量列为x1、x2、…、xn，x0为真值，其它误差（主要指系统误差和粗大误差）可以忽略，该测量值的随机误差为xxii0则服从正态分布的随机误差和测量值的概率密度函数分别为221()1[(xx0)]22f()e2f(x)e222正态概率密度函数的是一条钟形曲线，称为正态（高斯）曲线。正态曲线（服从正态分布的随机误差）具有如下性质：（1）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。（2）对称性（抵偿性）：绝对值相等且符号相反的误差出现的概率相同。（3）有

4、界性：在一定测量条件下，不可能出现无限大的随机误差。2、正态分布随机误差的数字特征能准确描述服从正态分布随机变量（测量值）及其误差的统计规律通常用两个参数——数学期望和方差（或标准差）。（1）数学期望数学期望的本质含义是：随机变量（误差）分布的中心位置，也就是随机变量（误差）概率密度分布曲线的重心位置。说明了随机变量（误差）分布的集中情况，是对概率分布的一种估计。服从正态分布的测量值和随机误差的数学期望为E(x)xf(x)dxx0E()f()d0这与随机误差具有抵偿性是一致的。证明21()2E()e2

5、d2222(2)[e2]220当实验次数增大时，随机变量X观测值的算术平均值x将在x的数学期望附近摆动，因此在实际工作中往往用算术平均值代替随机变量的数学期望。（2）方差及标准差22D()f()d由数学期望与方差可以看出：当随机误差服从正态分布时，测量值的数学期望等于真值，随机误差的数学数学期望等于零这与随机误差具有抵偿性是一致的；另外从方差（标准差）的定义可知，它们反映测量值与真值之间的偏离程度，数值越小，偏离程度越小，彼此之间的离散程度越小，反之，离散程度越大。标准差（均方根误差）σ和方差σ2

6、描述正态分布曲线的形状，是恒正值。σ、σ2越大，分布曲线的峰值就越低，图形的形状就越“胖”，分布曲线越平缓，离散程度越大；反之σ、σ2越小，分布曲线的峰值越高，图形的形状越“瘦”，分布曲线越陡峭，离散程度越小。标准差（均方根误差）σ和方差σ2描述分布曲线的宽窄。3、随机误差正态分布的实验验证随机误差是否符合正态分布，可通过以下方法来验证。统计直方图例：用单摆测周期。已知单摆周期的约定真值为T=3.01s，用秒表对该摆的周期进行150次测量，数据如下：可按如下步骤对样本观测值进行处理（1）数据整理：先将样本值x1,x2,…,xn按照由小到大的顺序排列统计；

7、（2）分组：确定分组数k和组距h。分组数不宜过大也不宜过小，通常样本容量的大小选择在7至15之间。n大时可适当增大样本容量；（3）列分组频率分布表：以ni表示观测值落入第i组的频数，则fi=ni/n称为该组的频率，将分组整理的数据列成上页的表格；（4）作频率直方图：在oxy坐标平面上，分别以x轴上各区间（δi-1,δi]为底，以ni或fi为高画出一排竖立的矩形，即频数（率）直方图；（5）作概率密度曲线：将频数（率）直方图中各矩形上的中点连接起来得到一条折线。根据以上数据绘制出随机误差统计直方图如下：若该曲线与正态分布概率密度曲线形式相符，则证明被研究的误

8、差符合正态分布。统计直方图可以很直观的显示误差分布概率密度的形式，但是误差的分布