计算机中的集合运算

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1、计算机中的集合第一节集合的基本概念1.1个体与集合之间的关系1.2集合的表示法1.3集合与集合之间的关系1.4幂集第二节集合的基本运算2.1集合的补运算2.2集合的交运算和并运算2.3集合的宏运算1.1个体与集合之间的关系什么是集合，关于集合的各种不同说法如下。1.莫斯科大学的那汤松教授说：凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。2.复旦大学的陈建功教授说：凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做物。具有某种条件的物，称它们的全部谓之一集。3.南开大学的杨宗磐教授说：集就是“乌合之众”。不考虑怎样“乌合”起来的，众可以具体，可以抽象。4

2、.集合论之父G.Cantor（1845-1918）说：集是由总括某些个体成一个整体而成的。对于每个个体，只设其为可思考对象，辨别它的异同。个体之间并不需要有任何关系。综上所述集合的概念有三要素1.个体（元素）2.个体的可辨认性3.集合（动词）通常用小写拉丁字母表示集合中的个体：a、b、c、d…通常用大写拉丁字母表示集合的名称：A、B、C、D…个体与集合之间的关系称为属于关系。对于某个个体a和某个集合A而言，a只有两种可能1）a属于A，记为aA，称a是A中的元素。2）a不属于A，记为aA，称a不是A中的元素。判断个体a属于A还是不属于A

3、，必须使用个体的可辨认性，而且个体的可辨认性是无二义性的，即或者a属于A或者a不属于A，二者居其一且只居其一。关于个体的辨认有赖于各方面的公认的知识。集合（名词）1.2集合的表示法文字表示法用文字表示集合的元素，两端加上花括号。{在座的同学}{高等数学中的积分公式}元素列举法将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。{1，2，3，4，5}{风，马，牛}{2，4，6，8，10，…}谓词表示法{x︱p(x)}p表示x所满足的性质。{x︱x2=1}{y︱y是开区间(a,b)上的连续函数}{使x2=1的实数}{1，-1}{x︱x2=1}集合的特殊情

4、况不含任何元素的集合称为空集，记为或{}。只含一个元素的集合称为单元素集，记为{a}。含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为X。常用集合的字母表示：自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集分别用大写字母N、Z、Q、R、C表示．有时还用Q＋表示正有理数集，用R－表示负实数集，等等．1.3集合与集合之间的关系定义1设A，B是两个集合1）若对于A中的每个元素x，都有x属于B，则称A包含在B中，记为AB。同时称A是B的子集。2）若A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，则称A等于B，记为A=B。子集的两种特殊情况（平凡子集）：

5、1）空集是任一集合的子集。2）每个集合是它自己的子集。集合与集合之间的关系称为包含关系。真子集：对于两个集合A与B，如果AB，并且AB，就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）空集是任何非空集合的真子集．全集：如果集体S含有所要研究各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示I表示．补集：一般地，设S中一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作A即A＝｛x│xS，且xA｝．1.4幂集定义2设A是集合，A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记为2A。2

6、A={xxA}定理1设集合A是有限集合，A=n，则2A=2A。定理2设A,B是两个集合。那么A=B当且仅当2A=2B。第二节集合的基本运算2.1集合的补运算（一元运算）定义1设X是集合，A是X的子集。A={xxX∧xA}称A是A关于X的补集，称为补运算。定理1设X是集合，A，B是X的子集。则1）(A)=A；2）若AB，则BA；3）若A=B，则A=B；4）X=，=X。2.2集合的交运算和并运算定义2设A，B是两个集合1）A∩B={x︱xA∧xB}，称A∩B为A与B的交集，称∩为集合交运

7、算。2）A∪B={x︱xA∨xB}，称A∪B为A与B的并集，称∪为集合并运算。定理2设X是全集，A，B，C是X的三个子集合，则1）A∩A=A，A∪A=A2）A∩A=，A∪A=X3）A∩X=A，A∪X=X4）A∩=，A∪=A5）A∩B=B∩A，A∪B=B∪A6）(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)7）A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)定理3设A，B，C为三个集合，则1）AA∪B，A∩BA；2）若AC且BC，则A∪BC；3）若CA且CB，则CA

8、∩B。定理4设A，B为两个集合，则下面三式等价。1）AB2）A∪B=B3)A∩B=A定理5设A，B为两个集合，则1）(A∪B)=A∩B2）(A∩B)=A∪B2.3集合的宏运算定义