概率论和数理统计(二)

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1、内容串讲第一章随机事件及其概率1．事件的关系与运算必然事件：—随机试验全部结果构成的集合。不可能事件：一般事件A：若A、B为两事件若，则其蕴含：“A发生导致B发生”。若，这表示A发生时，B必不发生，反之亦然。若A-B=A，则AB=φ；若AB=A，则；若A∪B＝A，则BA。若为n个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如等等。例1事件发生等于“至少有1个发生”。2．常用概率公式（1），，（2）若，则（3）；当，则（4）（5）（6）若两两互不相容，则（7）若相互独立，则例2设则　　　　3．古典概型古典概型：当随机试验的结果为有限个且

2、诸结果等可能发生时，任一事件A的概率为例3从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A：取到两个白球；B：一白一红球，求（1）无放回抽样：（2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次［注］：若设X为两次有放回取球中取到白球数，则～，从而4．条件概率（1）若，则，其中A为任一事件。（2）乘法公式：　　（其中）例4箱中有两白球、三红球，表第次取到白球，则P（“前两次取到白球”）P（“第一次取到白球，第二次取到红球”）（3）全概率公式：设是一完备事件组（或的一个划分），即：，（即诸互不相容）且，则对任一事件A有（4）Baye

3、s公式例5某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有个次品的概率如下（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率。解：（1）设事件是恰有个次品的一批产品，则由题设设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有由全概率公式，即得（2）由Bayes公式，所求概率分别为5．事件的独立性（1）定义：A、B相互独立等价于（2）若相互独立，则有（3）有放回抽样中

4、的诸事件是相互独立的。例6袋中有3白球，2个红球，今有放回的抽取3次，求先后抽到（白、红、白）的概率解：设表第次抽到的白球，则所求为（4）在n重贝努利（Bernoulli）试验中，若每次试验事件A发生的概率为，即，则事件A发生K次的概率为例7一射手对同一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.8，求：（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。解：由于每次射击相互独立，故本题可视为的贝努利试验，其中（1）设：“4次射击恰命中两次”，则（2）设B：“4次射击中至少命中一次”，表“4次皆未命中”，则第二章随机变量及其概率分

5、布1．离散型随机变量例1设　　　　　　　　　　　　　，则2．常见离散型随机变量（1）0—1分布：设～，则应用背景：一次抽样中，某事件A发生的次数～，其中例2设某射手的命中率为p，X为其一次射击中击中目标的次数，则X～（2）二项分布：设X～，则应用背景：n次独立重复抽样中某事件A发生的次数X～，其中为事件A在一次抽样中发生的概率。例３　某射手的命中率为0.8，X为其5次射击中命中目标的次数，则X取的可能值为，，即X～记住：若X～，则,（3）泊松（Poisson）分布若则称X服从参数的泊松分布，且，记X～，应用背景：偶然性事件发生

6、的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。另外，当Y～，且n很大，P很小时，令，则例4一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算解：设X表任取的1000件产品中的次品数，则X～，由于n很大，p很小，令则（1）（2）3．随机变量的分布函数：X的分布函数为，的性质：①②若，则③④，例5设X的分布函数，其中，则b=______.解：由知（因为）由，及题设时，故综上有，即例6设X的分布函数求　解：4．连续型随机变量若，其中任意，则称X为连续型随机变量。此时，；其中为X的概率密度，满足

7、（注意与分布律的性质：相对照）例7设X的概率密度为，则c=________解：由知，故5．常见连续型随机变量（1）均匀分布：设X～，则，，例8设X～，且，则a=______解：易知且，即解得（2）指数分布设～，则，，应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。例9设X为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t时，仍能正常工作的概率（设X～）解：由题意所求为（3）正态分布，设～，则，，特别，当～时，称服从标准正态分布，其密度函数记为分布函数记为常用公式：①若～，则，，*②若～，则6.简单随机变量函娄的概率分布例10设　

8、，求的概率分布。解：由题设，X的可能值为，故的可能值为而故例11设X～，求的分布密度函数解：先求Y的分布函数：，当；当时再求Y的分布密度函数　　故第三章多维随机变量及其概率分布1．二维随机变量的分布函数X的分布函数Y的分布函数2．离散型的分布律（与比较）例１　设的分布律为求（