结构动力计算结构力学学习资料

《结构动力计算结构力学学习资料》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§15.4两个自由度体系的自由振动很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系计算。一、振动微分方程的建立及自振频率和主振型计算柔度法、刚度法1、柔度法y1(t)y2(t)建立振动微分方程：（建立位移协调方程）m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应等于体系在当时惯性力作用下所产生的静力位移。................（15-40）柔度法建立的振动微分方程δ11δ21P1=1δ12δ22P2=1频率方程：为一关于λ的二次方程。解出λ的

2、两个根：振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。求得频率：频率方程和自振频率：设各质点按相同频率和初相角作简谐振动Y1，Y2是质点位移幅值........（15-40）振动微分方程体系频率的数目总等于其自由度数目主振型(normalmodeshape)频率方程：为一关于λ的二次方程。解出λ的两个根：振型方程：其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。不能有振型方程求出Y1，Y2的解，只能求出它们的比值。第一主振型第二主振型频率的数目总等于其自由度数目主振型是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y22例17

3、－6求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3解：1）求柔度系数P=1P=1求得频率：求得主振型：mm例17－6求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算：1对称情况：l/91反对称情况：例：求图示体系对称振动情况下的频率。mmmEIEIEI3m3m3m3mm/2m1210.5110.8750.2511332111Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。本题结束验证正交

4、性2、刚度法：（建立力的平衡方程）两个自由度的体系y1(t)r2r1y2(t)y1(t)y2(t)r2r1r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2质点动平衡方程:即:设:特点:1)两质点具有相同的频率和相同的相位角.2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数.............结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型.y1(t)y2(t)r2r1乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211r1=k11y1+k12y2r2=k21y1+k22y2

5、kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).振型计算公式频率计算公式频率方程....振型方程为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式=0展开是ω2的二次方程，解得ω2两个根为：可以证明这两个根都是正根。与ω2相应的第二振型：因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，只能求出其比值求与ω1相应的第一振型：ω2的两个根均为实根；矩阵[k]为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。故矩阵[k]为正定矩阵。k11k22-k12k21>0ω2的两个根均为正根；与ω2相应的

6、第二振型：求与ω1相应的第一振型：多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。几点注意：（P26）①ρ1ρ2必具有相反的符号。②多自由度体系自振频率的个数=其自由度数，自振频率由特征方程求出。③每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。④自振频率和主振型是体系本身的固有特性。一般解：在这种特定的初始条件下出现的振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。<0>0例17-4：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、

7、k2k21k111解：求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22k121k22=k2,k12=－k21)当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w()()kmkmk02222=---ww代入频率方程：+1)当m1=m2=m,k11=2k，k12=－ｋmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w求振型：12k12111mkw--2111YY=ω1→第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型12k12211mkw--

8、2212YY=ω2→第二主振型：Y22=－0.618Y11=1第二主振型2)当m1=nm2,k1=nk2k11=（1+n）k2，k12=－k2求频率：求振型：如n=90时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大