结构力学§5-7互等定理

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1、第5章虚功原理与结构位移计算§5-1刚体体系的虚功原理与位移计算§5-3荷载作用下的位移计算§5-2结构位移计算的一般公式§5-4荷载作用下的位移计算举例§5-6温度变化时的位移计算§5-7互等定理§5-5图乘法§5-7互等定理本节介绍线性变形体系的四个互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。1.功的互等定理(a)第一状态FP112Δ11Δ21(b)第二状态FP212Δ

2、12Δ22为证明功的互等定理,这两组力按不同次序先后作用于同一结构上,所作的总功分别如下：(1)先加FP1后加FP2，外力的总功(2)先加FP2后加FP1，外力的总功(a)第一状态FP112Δ11Δ21(b)第二状态FP212Δ12Δ22功的互等定理：（最基本的定理）第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。∵外力所作总功与加载次序无关，即：∴由(1)、(2)可得：2.位移互等定理若令：FP1=FP2=1则有：即：(a)第一状态FP1＝112δ21(b)第二

3、状态FP2＝112δ12位移互等定理:第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。(单位力——广义力，位移——广义位移）功的互等定理为（功的互等定理的一个特例—单位力）第二状态：支座2发生单位位移Δ2＝1时，使支座1产生的反力r12。3.反力互等定理（也是功的互等定理的一个特例—单位位移）Δ1＝1第一状态：支座1发生单位位移Δ1＝1时，使支座2产生的反力r21；根据功的互等定理有：反力互等定理:支座1发生单位位移所引起支座2的反力，等于

4、支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。即：(a)第一状态r2112(b)第二状态Δ2＝1r1212由反力互等定理，则有：r12=r21注意：该定理对结构上任何两支座都适用，但注意反力与位移在作功的关系上要对应，即力对应线位移；力偶对应角位移。(a)第一状态r2112φ1＝1(b)第二状态Δ2＝1r1212这里反力偶r12等于反力r21，量纲不同？并不矛盾！实质上应该是功的量纲。例：4.反力位移互等定理（也是功的互等定理的一个特例）由两个状态应用功的互等定理，则有(b)第二状态（由φ1=1引起δ21）δ21

5、12φ1＝1（a）第一状态（由FP2=1引起r12）FP2＝1r1212即有：反力位移互等定理：单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反。(量纲是功)（一个单位力，一个单位位移）下面进行静定结构位移计算小结