2014年大连市高等数学竞赛试题B答案

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1、学校姓名大连市第二十三届高等数学竞赛试卷答案（B）阅卷人得分一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，总计10分）1.=e^2.2.=1/2.3.=1.4.=1.5.若则阅卷人得分二、（本题10分）设求.解当时，为一初等函数，这时（6分）当时，由于（8分）所以在处不连续，由此可知在处不可导。（10分）题号一二三四五六七八九十总分分数阅卷人得分二、三、（本题8分）求函数的间断点，并判断类型.解：为间断点。（3分）当时，由于而所以是跳跃间断点。（5分）当时，由于所以是可去间断点。（7分）当时，而所以是无穷间断点。（8分）考生注意：考试时间150分钟

2、试卷总分100分共四页第1页学校姓名阅卷人得分四、（本题10分）曲线上哪一点处的法线在轴上的截距最小？解设在处的法线方程为，因为，所以，法线方程为，（4分）整理后为，法线在轴上的截距为。（6分）求此函数的极值：令，解得（舍去）;（8分）,故为极小值。由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点处的法线在轴上截距最小。（10分）阅卷人得分五、（本题6分）求的阶导数.解（2分）（3分）（4分）所以（6分）阅卷人得分六、（本题10分）讨论方程（其中）有几个实根？解：设，则，故为的驻点（2分）。当时，，当时，，所以为最大值。（4分）当时，即,即时，由于

3、，所以当时，此时方程有两个根。（8分）当时，即时，此时方程有一个根。（9分）当时，即时，方程无根.（10分）共四页第2页学校姓名阅卷人得分七、（本大题共3小题，每小题6分，总计18分）（1）解（2分）（4分）（6分）（2）解：（2分）（4分）所以（5分）故（6分）（3）解由于，（2分）而（4分）所以（6分）阅卷人得分八、（本题10分）设在上连续，且，证明：证（3分）两式相减，得，（5分）所以（7分）（9分）即（10分）共四页第3页阅卷人得分九、（本题8分）已知函数具有二阶导数，且，，证明：存在点，使得.证明：由，得，，（2分）函数在[0，1]

4、连续，（0，1）可导，，由罗尔定理，至少存在使。（6分）函数在连续，可导，，由罗尔定理，至少存在使（10分）阅卷人得分十、（本题10分）设为连续函数，且满足，求.解将上式两边对x求导，得，（2分）再对上式求导，得，即。（4分）由已知条件，可知。（6分）因此所求函数满足下列初值问题，其通解为（8分）。根据初值条件，得。从而所求的函数为（10分）共四页第4页