高等数学竞赛试题2答案

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1、高等数学竞赛试题2答案一、选择题1.下列命题中正确的命题有几个？…………………………………………………………（A）（1）无界变量必为无穷大量；(2)有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量；(4)无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个.2.设，则是间断点的函数是…………………………（B）(A)；(B)；(C)；(D)..3.设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则…………（C）(A)1；(B)；(C)；(D).4.设连续，当时，与为等

2、价无穷小，令，,则当时，的……………………………………（D）(A)高阶无穷小；(B)低阶无穷小；(C)同阶无穷小但非等价无穷小；(D)等价无穷小.5.设在点的某邻域内连续，且满足则在点处……………………………………………………………………………………………（A）(A)取极大值；(B)取极小值；(C)无极值；(D)不能确定是否有极值.6.设在连续，且导函数的图形如图所示，则有………………（D）(A)1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B)2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；(C)2个极小值点与2个

3、极大值点,无拐点；(D)2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7.设有连续的一阶导数，则……………………………（B）(A)；(B)；(C)；(D)0.8.设任意项级数条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为,将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与……………………（B）(A)两者都收敛；(B)两者都发散；(C)一个收敛一个发散；(D)以上三种情况都可能发生.4二、设在区间连续，,试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：.解（

4、1）（2）（3）（4）三、求曲线所围成的平面图形的面积.[解1]去掉绝对值曲线为：[解2]令..四、设曲面为曲线()绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分[解1]S的方程为补两平面；4[解2]五、设幂级数,当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值..解（1）令，，求得（2）由.六、设函数可微，,且满足求.解，对y积分得代入，，，4七、如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数，河流中水的流速为常数，试求船过河所走的路线(曲

5、线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点.解如图所示，设为船在要时刻的位置此时两个分速度为，消去t得，又,代入得，则有讨论：①当②③4