专题13.5 数学归纳法（教学案）-2014年高考数学（理）一轮复习精品资料（原卷版）

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1、【重点知识梳理】1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法（1）数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题P1(或P0)成立；②在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．（2）用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；②归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；③由①②得出结论．【方法技巧

2、】两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：（1）第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．（2）第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”．三个注意运用数学归纳法应注意以下三点：（1）n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义．（2）由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论．（3）要注意n＝k到n＝k＋1时

3、增加的项数．【随堂训练】学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!13联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-893138981.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于(　　)．A．1B．2C．3D．02.证明<1＋＋＋＋…＋1)，当n＝2时，中间的式子等于(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．1＋C．1＋＋D．1＋＋＋3.利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n

4、∈N*)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)．A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项4.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1(k∈N*)时的情况，只需展开(　　)A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)35.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2，且n∈N*时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)A．3n－2B．n2C．3n－1D．4n－36.某个命题与正整数有关，若n=k(kN)时，命题成立，那么可推出当n=k+1时

5、，该命题也成立.现已知当n=5时，该命题不成立，那么可以推得A.当n=6时，该命题不成立B.当n=6时，该命题成立C.当n=4时，该命题不成立D.当n=4时，该命题成立7.观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；….则可得出第n个式子为__________________．8.设凸边形的内角和为，凸边形的内角和为，.9.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!13联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：10241

6、3电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为.10.利用数学归纳法证明.【高频考点突破】考点1　用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明：tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n∈N*，n≥2)．【感悟提升】用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．“假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变

7、形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来源:学科网ZX【变式探究】证明：对任意的n∈N*，＋＋…＋＝.考点2　利用数学归纳法证明整除问题学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!13联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313