专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示（教学案）-2014年高考数学（理）一轮复习精品资料（解析版）

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1、【重点知识梳理】一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作＝(x，

2、y)，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．(2)设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)．2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!21

3、联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

4、

5、＝.三、平面向量共线的坐标表示设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中b≠0.若∥⇔x1y2－x2y1＝0.【特别提醒】　1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区

6、别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．【高频考点突破】考点一、平面向量基本定理及其应用例1、如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．考点二、平面向量的坐标运算例2、(1)已知向量＝(，1)，＝(0，－2)．若实数k与向量满足＋2＝k，则可以是(　　)A．(，－1)　　　　　　　B．(－1，－)C．(－，－1)D．(－1,)学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地

7、代理，有意者，敬请联系!21联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝，＝，＝.①求3＋－3；②求满足＝m＋n的实数m，n.【变式探究】已知点A(－1,2)，B(2,8)，＝，＝－，求点C、D的坐标和的坐标．学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!21联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话

8、：010-58425255/6/7传真：010-89313898考点三、平面向量共线的坐标表示例3、已知向量＝(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ为实数，(＋λ)∥，则λ＝(　　)A.　　　　　　　　　　B.C．1D．2【解析】可得＋λ＝(1＋λ，2)，由(＋λ)∥得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝.【答案】B考点四、向量共线的应用例4、如图所示，在▱ABCD中，已知＝，AC与BE相交于点F，＝λ，则λ＝________.故＝＋＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地

9、代理，有意者，敬请联系!21联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898∵与共线，且与不共线，∴＝，∴λ＝.【变式探究】已知直角坐标平面内的两个向量＝(1,3)，＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量都可以唯一的表示成＝λ＋μ，则m的取值范围是________．【解析】：∵可唯一表示成＝λ＋μ，∴与不共线，∴2m－3≠3m，∴m≠－3.答案：{m

10、m∈R，m≠－3}考点五、由向量共线求参数的值或取值范围例5、已知向量＝(3,1)，＝(1,3)，＝

11、(k,7)，若(－)∥，则k＝(　　)A．3　　　　B．0　　　　C．5　　　　D．－5【变式探究】向量＝(，tanα)，＝(cosα，)，且∥，则锐