中值定理与导数的应用(I)

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1、第一节.中值定理第三章中值定理与导数的应用01xy●0xy●●●●ABMNCaxb令★等号仅在a=b时成立！定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.极限不存在正确做法：型泰勒公式是将一个函数表达成多项式的形式多项式是各类函数中最简单的一种。用多项式近似表达函数是近似计算和理论分析中的一个重要内容我们来找系数与f(x)的导数之间的关系f(x)可以写成●泰勒(Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有　　的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数则当x

2、在(a,b)内时，f(x)可以表示为　的一个n次多项式与一个余项之和：(3)其中：(4)这里　是　与之间的某个值。拉格朗日余项皮亚诺余项解：令：x=1即用代替e的值其误差不超过0.000001当n=9时解：其中：则：其误差为：m=2m=3若：m=1若：解：解：我们讲的是在　点，一阶导数为零的情况。其实一阶导数不存在的点也有可能为极值点，对于这些点同样可用定理2的办法来计算。我们知道闭区间[a,b]上的连续函数总存在最大值和最小值，那么怎样找出这些最大值和最小值呢？h图例第七节.曲线的凹凸性与拐点从图形上

3、看很能理解上凹（下凸）下凹（上凸）定义1.设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点　　　恒有：那末称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有:那末称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。xyoyox拐点拐点xyoxyo2xy若曲线c上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线c的渐近线。oy=cxyoxyoxyNMPo函数图象的讨论◆函数图象讨论的程序是：确定函数的定义域1.2.考察函数的奇偶性，周期性3.确定函数的某些特殊点，如与两坐

4、标轴的交点4.确定函数的单调区间，极值点,凹凸的区间以及拐点.5.考察渐近线根据上述讨论结果最后画出函数的图象-2xy12345-1二.成本某产品的总成本是指一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格费用总额，它由固定成本与可变成本组成。平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。边际成本是总成本的变化率。三.收益总收益——生产出售一定量产品所得到的全部　　　　　收入。平均收益——生产者出售一定量产品，平均每　　　　　　出售单位产品所得到的收入，即　　　　　　单位商品的售价。边际收益——总收益的变化

5、率。总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数。设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，　为平均收益，R’为边际收益。需求函数总收益函数平均收益函数边际收益函数例1.设某产品的价格与销售量的关系为P=10-Q/5,求销售量为30时的总收益，平均收益与边际收益。解：下面讨论最大利润原则设总利润为L，则取得最大值的必要条件：即：边际收益＝边际成本取得最大利润的充要条件：例2.已知某产品的价格与销售量的关系为，成本函数为C=50+2Q求：产量为多少时，总利润Ｌ最大？并验证是否符合最大利润原则解：即：又：符合最大

6、利润原则例3.某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益Ｒ是年产量Ｑ的函数问：每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？解：根据题意，总成本函数为从而可得总利润函数为★分段点可用定义证又：令：则：Q=300,L最大四.函数的相对变化率——函数的弹性例：商品甲每单位价格10元，涨价1元。商品　　　乙每单位价格1000元，也涨价1元。两　　　种商品价格的绝对改变量都是1元，但　　　各与其原价相比，两者涨价的百分比却　　　有了很大的不同，商品甲涨了10%，

7、而　　　商品乙涨了0.1%。因此我们还有必要研究函数的相对改变量与　　　相对变化率。例如：　　　，当x由10改变到12时，y由100改　　　变到144，此时，自变量与因变量的绝对改变量分别为　　　　　而　　　　　　　　　　　，这表示当x=10改变到12，x产生了20%的改变，y产生了44%的改变，这就是相对改变量。这表示在(10,12)内从x=10，x改变1%时，y平均改变2.2%。我们称它为x=10到x=12,函数　　　的平均相对变化率。定义：设函数f(x)在　处可导，函数的相对改变量与自变　　　　量

8、的相对改变量　　之比称为函数f(x)从　　到　　　两点间的相对变化率或两　　　　点间的弹性。称为f(x)在处的相对变化率或称为弹性记作：对一般x，若f(x)可导，则有：是x的函数，称为f(x)的弹性函数。例1.求函数y=3+2x在x=3处的弹性解：例2.求函数　　　的弹性函数　　及解：例3.求函数　　（　为常数）的弹性函数解：五.需求函数与供给函数需求函数设Ｐ表示商品价格，Ｑ表示需求量Q=f(p)称为需求函数一般说来，商品价格低，需求大，商