2011届高考数学难题集锦

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1、2011届高考数学难题集锦一、填空题1．直线过点，若可行域的外接圆直径为．则实数n的值是.2．已知函数f（x）＝cosωx（ω>0）在区间上是单调函数，且f（）＝0，则ω＝．3．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列四个命题中真命题的序号为.①；②；③；④4．如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于．5．己知等差数列{an}的各项都不为零，公差d>0，且a4+a7=0，记数列的前n项和为Sn，则使Sn>0成立的正整数n的最小值是_________.6

2、．如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是．7．已知函数，若存在一个实数x，使与均不是正数，则实数m的取值范围是________________.8.定义区间的长度均为，其中，若是实数，且，则满足不等式的构成的区间长度之和为.二、解答题，9．xNMOyABl:x=t已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右两个顶点分别为，，直线与椭圆相交于两点，经过三点的圆与经过三点的圆分别记为圆C1与圆C2．（1）求椭圆的方程；（2）求证：无论如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值

3、；（3）当变化时，求圆C1与圆C2的面积的和的最小值．10．如图，已知椭圆过点.，离心率为，左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.（I）求椭圆的标准方程；（II）设直线、的斜线分别为、.（i）证明：；（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.11．已知,且.(Ⅰ)当时,求在处的切线方程；(Ⅱ)当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间的长度定义为),试求的最大值；(Ⅲ)是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出

4、的取值范围；若不存在，请说明理由.12．（1）证明：对任一正整，都存在整数，使得成等差数列。（2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列。参考答案一、填空题1．82．或43．②③4．5．116．7．8.2二、解答题，9．解：（1）由题意：可得：，故所求椭圆方程为：1（2）易得A的坐标(－2，0)，B的坐标(2,0)，M的坐标，N的坐标，线段AM的中点P，直线AM的斜率又,直线的斜率直线的方程，的坐标为同理的坐标为,即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.（2）圆的半径为，圆的半径为，则（＜＜）显然时，最小，.10．

5、11．解:(Ⅰ)当时,.因为当时,,,且,所以当时,,且由于,所以,又,故所求切线方程为,即(Ⅱ)因为,所以,则①当时,因为,,所以由,解得,从而当时,②当时,因为,,所以由,解得,从而当时,③当时,因为,从而一定不成立综上得,当且仅当时,,故从而当时,取得最大值为(Ⅲ)“当时,”等价于“对恒成立”,即“(*)对恒成立”①当时,,则当时,,则(*)可化为,即,而当时,,所以,从而适合题意①当时,.⑴当时,(*)可化为,即,而,所以,此时要求⑵当时,(*)可化为,所以,此时只要求(3)当时,(*)可化为,即,而,所以,此时要求由⑴⑵⑶,得符合题

6、意要求.综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是12．（1）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当成等差数列，则，分解得：选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。[来源:学科网ZXXK]任取正整数m，n，若△m，△相似：则三边对应成比例，由

7、比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。