上课133函数的最大小值与导数

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1、1.3.3函数的最大（小）值与导数9/10/20211.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.一、复习引入：2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:3.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根注：导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大

2、值点，是极大值..2.判别f(x0)是极大、极小值的方法:3.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根注：导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值..(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取

3、得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数的极大(小)值点，那么在附近找不到比更大(小)的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关心函数在某个区间上哪个值是最大，哪个值最小，如果是函数的最大(小)值点，那么不小(大)于函数在相应区间上所有函数值.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定

4、有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).练、函数y=x³+3x²－9x在[－4,4]上的最大值为,最小值为.分析:(1)由f´(x)=3x²+6x－9=0,(2)区间［－4,4］端点处的函数值为f(－4)=20,f(4)=76得x1=－3，x2=1函数值为f(－3)=27,f(1)=－5当x变化时，y′、y的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y′+0-

5、0+0y2027-576比较以上各函数值，可知函数在［－4,4］上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=－5例2已知x∈(0,+∞).是否存在实数a、b使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b,若不存在，说明理由.解：设g(x)=∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件含参数的最值问题例4、设为常数，求函数在区间上的最大值和最小值.例5、设，函

6、数的最大值为1，最小值为，求、的值.由函数的最值求参数的值与函数最值有关的恒成立问题例4、已知函数.(1)若函数在和处取得极值，试求、的值；(2)在(1)的条件下，当时，恒成立，求的取值范围.含参数的最值问题例3、已知是实数，函数.(1)若，求的值及曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值.五、小结1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.2.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最

7、值这两个概念.(2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:练习:最大值f(－1)=3，最小值f(3)=－61P31练（2）（4）（04浙江文21）（本题满分12分）已知a为实数，（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是