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1、高等数学(上)期中复习基本概念,基本定理,基本方法1.概念罗列函数(有确定对应规则),自变量,定义域及求法,有(上,下)界,无界,奇、偶函数,单调(增、减)函数,复合函数,直接函数与反函数(关于y=x对称),基本初等函数及对应图形,初等函数;极限,左右极限,单侧极限,无穷大与无穷小,无穷小的阶(高阶,低阶,同阶,数量阶),等价无穷小,连续(3定义),间断,间断点分类,导数,高阶导数,相关变化率,微分(线性主部).极值,驻点,最值(极值与最值区别);7种自变量的变化(1)自变量n→∞;(2)自变量x→x0；(3)自
2、变量x→x0+0；(4)自变量x→x0-0；(5)自变量x→∞；(6)自变量x→+∞；(7)自变量x→-∞。--双侧--双侧单侧单侧2.极限定义7种自变量变化的精准定义(1)自变量n→∞(2)自变量x→x0(3)自变量x→x0+0(4)自变量x→x0-0(6)自变量x→+∞(5)自变量x→∞(7)自变量x→-∞5种函数的变化(3)函数f(x)→∞即f(x)无穷大；(4)函数f(x)→+∞即f(x)正无穷大；(5)函数f(x)→-∞即f(x)负无穷大。(1)函数f(x)→极限A;(2)函数α→0即α无穷小;5种函数
3、变化的精准定义(1)函数f(x)→A(2)α无穷小(3)f(x)无穷大(4)f(x)正无穷大(5)f(x)负无穷大极限的7个定义及无穷大与无穷小的相应定义组合的例子：,当时,有设f(x)在
4、x
5、充分大时有定义.如果对于X>0,当
6、x
7、>X时,恒有则称是f(x)当x→∞时的极限,记作或设在的某一去心邻域内有定义.如果对于当时，有或设在的某一去心邻域内有定义.如果对于当时，有或1.用倒推法导出希望的条件(不是结果或事实)；证极限是从出发导出N(或δ或X)。技巧是放大。证∞是从出发导出N(或δ或X)。技巧是縮小。2.套
8、定义复述。即：用定义证极限(或∞)的步骤：当时,有(共35个可能)例设，用定义证明:;2、。1、3.基本定理极限及无穷小的性质,无穷小与极限的关系,极限性质:惟一,有界,保号,局部服从全体.极限的四则运算与复合运算性质(参与的变量极限一定要存在);连续函数经+,-,*,/与复合运算后仍连续;闭区间上连续函数的(两类)性质:有界,介值.可导必连续,连续不一定可导.左右极限,左右连续,左右导数.可导充要条件是可微.dy=y’dx.4个微分中值定理.4.极限的求法:若函数连续:,初等函数在定义区间内连续.四则运算,有理
9、函数在的计算公式,去0因子,及有理化;变量代换,有界与无穷小之积是无穷小.无穷大与无穷小(除0外)互为倒数关系.两准则;两极限;等价无穷小替换(注:只用于乘除,加减不能用)洛必达法则5.导数的求法定义(导数是切线斜率)多用于抽象函数或分段函数在固定点.初等函数求导,基本初等函数求导公式,求导(+-*/)运算法则,复合函数求导公式,反函数求导公式;隐函数求导方法,对数求导法,参数方程求导公式,高阶导数公式.隐函数求导要点:方程两端同时关于x求导,遇到y时,将y当作中间变量,先对y求导,然后,马上乘以y′,最后解出y
10、′.对数求导注意点:要充分地使用对数性质,将对数性质发挥至极致.适用于(1)幂指函数;(2)多因子乘积.参数方程求导注意点:y,y′是t的函数,对t求导后一定要及时除以xt.（3）莱布尼茨（Leibniz）公式高阶导数公式求高阶导数的方法小结抽象函数关于某一点或分段函数在分段点求(高阶)导数,多用定义求得.具体函数的低阶导数要由一阶导数,二阶导数,…,依序算出.简单函数类的高阶导数求至3,4阶后,尽量把它们变换成同一形式,用不完全归纳法得一般规律.或套公式(1)做.简单函数类指f(x)=xa,ex,ax,sinx
11、,cosx,Lnx等和中间变量为线性的函数复合而成.不太复杂函数的高阶导数,先化成简单函数类的线性组合,而后用高阶导数的线性运算法则即公式(2)做.尤其是多项式和简单函数类乘积的高阶导数,用Leibniz公式.6.微分中值定理条件:满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）结论:在开区间(a,b)内至少有一点，使微分中值定理的特点罗尔中值定理适用于有关方程的根(牵涉到一个函数);拉格朗日中值定理的适用于有关函数的改变量;拉格朗日中值定理的推论(导数为零的函数是常数)适用于恒等式;
12、柯西中值定理适用于方程的根(牵涉到两个函数);泰勒中值定理涉及函数的高阶导数.例设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导.f(0)=1,f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得此类：辅助函数F(x)=xλf(x)例设f(x)可导,证明f(x)的任意两个零点之间一定有的零点.此类：辅助函数F(x)=ekxf(x)7.洛必达法则(24个)使用说明:(1)可反
