高数上期中复习资料

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1、高等数学（上）期中复习资料基础数学协会2014.11第一章函数与极限1函数的极限⑴函数连续性的判断：/⑴在X。连续O/（塔）=/（x+）=/（%）⑵求函数的间断点：1）第一类间断点（左右极限都存在）：a.可去间断点：左右极限存在且相等但函数在该点无定义或函数值不等于极限值。b.跳跃间断点：左右极限存在但不相等。2）第二类间断点：除第一类间断点以外的所有的间断点。2数列的极限（1）证明数列极限存在的方法：1）夹逼定理3«（）gN,当川>q）时有y5兀”5z”且limy=a,lim乙贝忱存在极限且,lim兀”=a2）单调有界定理3）柯西准则常见的极限不存在的情况：1）子数列发散

2、2）子数列虽收敛但极限不同（2）求极限方法：1）定义法证明猜想的极限；2）夹逼准则；3）柯西极限存在守则；4）换元法求极限5）先证明有极限（多用单调有界定理），再用极限值直接代入求解，例如常见的等价无穷小xtO时，x匚sinx□tanx□arcsinx匚arctanxjIn（1+x）Dex一11-cosx□—x2,ax-1□xlna,（1+x）"-lElax2极限化简常用的方法：恒等变形、约去零因子罗比达法则（重点），常与等价无穷小一起交替使用，使用时注意使用条件，常考的有七种不定式极限：1?型常用方法：约去零因子；等价无穷小替换；换元；罗比达法则；恒等变形02二型常用方法

3、：分子分母同时除以最高次幕项；换元；罗比达法则OO300-00型常用方法：通分；倒代换；有理化40>oo型常用方法：变形；换元；取倒数化为°型0丄50°型oo°型广型収对数化为0・oo型:利用重要极限lim（l+"之xtO第二章导数与微分1导数的概念f（如）=lim小心）7（切=hm心心"TO口兀XT%X-X（）2平面曲线的切线和法线方程3—元函数求导（1）参数方程求导dy二0")clx(pt)d-y二dy"dt=心)0⑴-心)0'(odx2dt0(/)dx0”⑴（2）隐函数求导:数，不要忘记y'2）1）方程两边同时对X求导，解关于W的方程，求导时要注意y是X的函利用微分

4、形式不变性，对方程两边同时取微分，然后解出空ax(3)(4)(5)竺—丄d2xdyy'dy-（y*）3分段函数求导：在间断点处用定义求导即可。高阶导数求导：1）通过恒等变形，将原函数分解为几个较简单函数的和2）利用莱布反函数求导:尼兹公式［uMvM^=£c>(*)(x)/i)(x)k=0儿个常见的高阶导数公式:(sind)""=knsinkx+1171(cos总)")=kncoskx+n7ixn+1x")⑷=0©>")(-咋Ji4微分中值定理(In兀严=(—旷GT!1.Rolle定理若函数/（x）满足：（1）在SQ上连续；（2）在（G）内可导；（3）/（«）=/（〃），则至

5、少存在一点e（a9b）9使得八»0・1.Lagrange定理若函数/（x）满足:（1）在［心］上连续；（2）在（心）内可导；则至少存在一点使得二/©）=/•（“b—a2.Cauchy定理若函数/（X）与g（x）满足：（1）在上连续；（2）在（a,〃）内可导，且g'（x）工0;则至少存在一点歹e（使得常算爲•5极值的判别方法：1）极值的泄义2）利用导数判断增减性后得出极值点：导函数在极值点左右符号不同3）用高阶导数判断极值：设fGo）=O,厂（兀°）H0,若厂（兀。）＞0则几勺）为极小值;若T（x°）v0则/（无）为极大值。极值点必为驻点；驻点不一定为极值点。6函数的最值：闭

6、区间内最值可能出现在极值点，间断点7凹凸性：函数的凹凸性収决于二阶导数的符号，正凹负凸；凹凸性改变的点即为拐点。习题、单项选择题1•当xtO时,f(x)=x-sinax-^g(x)=x27n(l-Z?x)等价无穷小，贝U()(A)a=1,Z?=——(B)a=l,b=—66(C)a=_l,b=_；(£))a=_l,b=2662.设函数f(x)=xln2x在x°处可导，5/'(%0)=2,贝叭勺)等于()p2(A)l(B)-(C)-(D)£2e2.设f(x)二亠+沁，则“0是f(兀)的()1+石⑷(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)无穷间断点(I))震荡间断点▼1-COSXc

7、Y>04•设f(x)=